Hamilton方程

从Euler-Lagrange方程到Hamilton方程

我们使用从切空间到局部中的Einstein求和约定
在局部坐标系下，Euler-Lagrange方程为
$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q^a} = 0.$
将 $\frac{d}{dt}$ 进一步作用于 $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a}$ ，可得
$\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a\partial\dot{q}^b}\ddot{q}^b + \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a\partial q^b}\dot{q}^b + \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a\partial t} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q^a} = 0.$
如果 $\mathcal{L}$ 关于 $\dot{q}$ 的Hesse矩阵是可逆的，那么上面的方程是广义坐标 $q$ 的二阶ODE，正如Newton方程是位置向量 $r$ 的二阶ODE
我们也可以将Euler-Lagrange方程转化为一阶ODE。令
$p = (p_1, \ldots, p_n) = \bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}^1}, \ldots, \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}^n}\bigg),$
那么Euler-Lagrange方程变为
$\dot{p_a} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q^a}.$
定义映射
$\phi: (q, \dot{q}) \mapsto (q, p),$
Jacobi矩阵为
$D\phi = \begin{bmatrix}I_n & 0 \\ B & A\end{bmatrix},\; A = \bigg(\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a\partial\dot{q}^b}\bigg),\; B = \bigg(\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^a\partial q^b}\bigg).$
如果 $\mathcal{L}$ 关于 $\dot{q}$ 的Hesse矩阵是可逆的，那么 $\det(D\phi) = \det(A) \neq 0$ 。由从切空间到局部中的逆映射定理， $\phi$ 在局部是可逆的，从而是一个坐标变换
令 $\widetilde{\mathcal{L}}(q, p, t) = \mathcal{L}(q, \dot{q}(q, p), t)$ 。那么，
$\begin{equation*}\begin{split} \frac{\partial\widetilde{\mathcal{L}}(q, p, t)}{\partial q^a} &= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q^a} + p_b\frac{\partial\dot{q}^b}{\partial q^a}, \\ \frac{\partial\widetilde{\mathcal{L}}(q, p, t)}{\partial p_a} &= p_b\frac{\partial\dot{q}^b}{\partial p_a}. \end{split}\end{equation*}$
如果我们定义Hamiltonian为
$\mathcal{H}(q, p, t) = p_b\dot{q}^b - \widetilde{\mathcal{L}}(q, p, t),$
那么我们可以得到Hamilton方程
$\begin{equation*}\begin{split} -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q^a} &= -p_b\frac{\partial\dot{q}^b}{\partial q^a} + \frac{\partial\widetilde{\mathcal{L}}(q, p, t)}{\partial q^a} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q^a} = \dot{p}_a, \\ \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_a} &= \delta_{ab}\dot{q}^b + p_b\frac{\partial\dot{q}^b}{\partial p_a} - \frac{\partial\widetilde{\mathcal{L}}(q, p, t)}{\partial p_a} = \dot{q}^a. \end{split}\end{equation*}$

保守力场的Hamiltonian

在保守力场中，广义坐标 $q$ 为位置向量 $r$ ，广义速度 $\dot{q}$ 为速度 $v$ ，并且Lagrangian为
$\mathcal{L} = \frac 12mv^2 - V(r).$
由此可知， $p = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v} = mv$ 为动量，并且Hamiltonian为总能量，
$\mathcal{H} = p \cdot v - \mathcal{L} = \frac 12mv^2 + V(r).$
坐标变换为
$\phi: (r, v) \mapsto (r, mv),\; \phi^{-1}: (r, p) \mapsto (r, p / m).$
我们称 $(r, v)$ 位于坐标空间， $(r, p)$ 位于相空间。在相空间中，Lagrangian、Hamiltonian分别为
$\mathcal{L} = \frac{|p|^2}{2m} - V(r),\; \mathcal{H} = \frac{|p|^2}{2m} + V(r).$