Beta函数和Gamma函数

参考资料：数学分析

Beta函数

Beta函数为
$B(p, q) = \int_0^1 x^{p - 1}(1 - x)^{q - 1}dx,\; p, q > 0.$
我们有
- 对称性
  $B(p, q) = \int_1^0 (1 - y)^{p - 1}y^{q - 1}(-dy) = B(q, p).$
- 三角函数的任意幂次的积分
  $\begin{equation*}\begin{split} B(p, q) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^{2(p - 1)}(\cos t)^{2(q - 1)} \cdot 2\sin t\cos tdt \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^{2p - 1}(\cos t)^{2q - 1}dt. \end{split}\end{equation*}$

Gamma函数

Gamma函数为
$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s - 1}e^{-x}dx,\; s > 0.$
我们有
- 递推公式
  $\begin{equation*}\begin{split} \Gamma(s + 1) &= -\int_0^{+\infty} x^sde^{-x} \\ &= \int_0^{+\infty} e^{-x}dx^s \\ &= s\int_0^{+\infty} x^{s - 1}e^{-x}dx \\ &= s\Gamma(s). \end{split}\end{equation*}$
  由于 $\Gamma(1) = \int_0^{+\infty} e^{-x}dx = 1$ ，故
  $\Gamma(n) = (n - 1)!,\; n = 1, 2, \ldots$
  也就是说，Gamma函数是阶乘函数的推广
- Gauss函数乘以任意幂函数的积分
  $\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{2(s - 1)}e^{-t^2} \cdot 2tdt = 2\int_0^{+\infty} t^{2s - 1}e^{-t^2}dt.$
  因此， $\Gamma(\frac 12) = \sqrt{\pi}$
Beta函数可以表示为Gamma函数
$\begin{equation*}\begin{split} \Gamma(p)\Gamma(q) &= 2\int_0^{+\infty} s^{2p - 1}e^{-s^2}ds \cdot 2\int_0^{+\infty} t^{2q - 1}e^{-t^2}dt \\ &= 4\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty} s^{2p - 1}t^{2q - 1}e^{-(s^2 + t^2)}dsdt \\ &= 4\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (r\cos\theta)^{2p - 1}(r\sin\theta)^{2q - 1}e^{-r^2} \cdot rd\theta dr \\ &= 2\int_{0}^{+\infty} r^{2p + 2q - 1}e^{-r^2}dr \cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta)^{2p - 1}(\sin\theta)^{2q - 1}d\theta \\ &= \Gamma(p + q)B(p, q). \end{split}\end{equation*}$
也就是说， $B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}$

n维球的体积

球坐标
$\begin{equation*}\begin{split} x_1 &= r\cos\varphi_1, \\ x_2 &= r\sin\varphi_1\cos\varphi_2, \\ \ldots \\ x_{n - 1} &= r\sin\varphi_1\sin\varphi_2 \cdots \sin\varphi_{n - 2}\cos\varphi_{n - 1}, \\ x_n &= r\sin\varphi_1\sin\varphi_2 \cdots \sin\varphi_{n - 2}\sin\varphi_{n - 1}, \end{split}\end{equation*}$
其中， $r \geq 0$ ， $0 \leq \varphi_1, \ldots, \varphi_{n - 2} \leq \pi$ ， $0 \leq \varphi_{n - 1} \leq 2\pi$
Jacobi矩阵
- Jacobi矩阵的形式为
  $J_n = \begin{bmatrix}* & * & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ * & * & * & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ * & * & * & * & \ldots & * & 0 \\ * & * & * & * & \ldots & * & * \\ * & * & * & * & \ldots & * & *\end{bmatrix},$
  其中，第一行的非零元素为 $\cos\varphi_1$ 、 $-r\sin\varphi_1$
- 对于 $I_n = \det(J_n)$ ，如果我们按第一行展开，并且提取出代数余子式中的 $\cos\varphi_1$ 、 $\sin\varphi_1$ ，那么我们可以得到递推公式
  $\begin{equation*}\begin{split} I_n &= \cos\varphi_1 \cdot r\cos\varphi_1(\sin\varphi_1)^{n - 2} \cdot (-1)^{1 + 1}I_{n - 1} \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (-r\sin\varphi_1) \cdot (\sin\varphi_1)^{n - 1} \cdot (-1)^{1 + 2}I_{n - 1} \\ &= r(\sin\varphi_1)^{n - 2}I_{n - 1}. \end{split}\end{equation*}$
- 最终，
  $\begin{equation*}\begin{split} I_n &= r(\sin\varphi_1)^{n - 2} \cdots r(\sin\varphi_{n - 2})^1 \cdot I_2 \\ &= r^{n - 1}(\sin\varphi_1)^{n - 2} \cdots (\sin\varphi_{n - 2})^1. \end{split}\end{equation*}$
  这里，我们使用了
  $I_2 = \det\begin{bmatrix}\cos\varphi_{n - 2} & -r\sin\varphi_{n - 1} \\ \sin\varphi_{n - 2} & r\cos\varphi_{n - 1}\end{bmatrix} = r.$
半径为 $R$ 的 $n$ 维球的体积为
$\begin{equation*}\begin{split} V_n(R) &= \int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\cdots\int_0^{\pi} I_nd\varphi_1 \cdots d\varphi_{n - 1}dr \\ &= \int_0^R r^{n - 1}dr \cdot \int_0^{2\pi} d\varphi_{n - 1} \cdot \prod_{j = 1}^{n - 2}\int_0^{\pi} (\sin\varphi_j)^{n - j - 1}d\varphi_j \\ &= \frac{R^n}{n} \cdot 2\pi \cdot \prod_{j = 1}^{n - 2} B\bigg(\frac{n - j}{2}, \frac 12\bigg) \\ &= \frac{2\pi}{n}R^n \cdot \prod_{j = 1}^{n - 2} \frac{\Gamma(\frac{n - j}{2})\Gamma(\frac 12)}{\Gamma(\frac{n - j + 1}{2})} \\ &= \frac{2\pi}{n}R^n \cdot \frac{\pi^{\frac{n - 2}{2}}}{\Gamma(\frac n2)} \\ &= \omega_nR^n, \text{ where }\omega_n = \frac{2\pi^{\frac n2}}{n\Gamma(\frac n2)}. \end{split}\end{equation*}$
这里， $\omega_n$ 为 $n$ 维单位球的体积
当 $n = 1$ 、 $2$ 、 $3$ 时，我们有
$\omega_1 = \frac{2\pi^{\frac 12}}{\Gamma(\frac 12)} = 2,\; \omega_2 = \frac{\pi}{\Gamma(1)} = \pi,\; \omega_3 = \frac{2\pi^{\frac 32}}{3\Gamma(\frac 32)} = \frac 43\pi.$
也就是说，区间 $[-R, R]$ 的长度为 $2R$ ，半径为 $R$ 的圆盘的面积为 $\pi R^2$ ，半径为 $R$ 的球体的体积为 $\frac 43\pi R^3$
我们也可以计算半径为 $R$ 的 $n - 1$ 维球面的面积 $A_{n - 1}(R)$ 。由
$dV_n(R) = A_{n - 1}(R)dR,$
可得
$A_{n - 1}(R) = \frac{d(\omega_nR^n)}{dR} = n\omega_nR^{n - 1}.$
当 $n = 2$ 、 $3$ 时，我们有
$2\omega_2 = 2\pi,\; 3\omega_3 = 4\pi.$
也就是说，半径为 $R$ 的圆周的长度为 $2\pi R$ ，半径为 $R$ 的球面的面积为 $4\pi R^2$