Hamilton算子

量子力学的假设

关于伴随算子、Hermite矩阵，可参见数值线性代数
由HiFi和量子力学——测不准原理，我们可以得到
- （Fourier变换）位置 $r$ 经过Fourier变换后变为 $k$ ，并且动量 $p = \hbar k$ ，所以我们可以得到位置 $r$ 、动量 $p$ 的Heisenberg测不准原理
- （概率密度函数）当波函数 $\psi$ 接近于粒子时， $|\psi(r, t)|^2$ 保持不变，所以我们可以认为 $|\psi|^2$ 对应于粒子的概率密度函数
进一步，我们可以得到
- （测量和算子）物理量的测量值为数学期望。比如，位置 $x_i$ 的测量值为
  $\mathbb{E}[x_i] = \int_{\mathbb{R}^3} x_i|\psi(r)|^2dr.$
  对位置 $x_i$ 的测量对应于乘法算子 $X_i$ ，
  $X_i\psi(r) = x_i\psi(r),\; \mathbb{E}[x_i] = \langle{X_i\psi, \psi}\rangle_{L^2}.$
- （自伴算子）对于一般的物理量，为了得到实的测量值，测量对应的线性算子应该满足
  $\langle{A\psi, \psi}\rangle_{L^2} = \overline{\langle{A\psi, \psi}\rangle_{L^2}} = \langle{\psi, A\psi}\rangle_{L^2}.$
  在Hilbert空间中
  - 如果 $H = L^2(\mathbb{R}^3)$ ，那么 $A$ 的伴随算子 $A^*$ 满足
    $\langle{Ax, y}\rangle_{H} = \langle{x, A^*y}\rangle_{H}.$
    自伴算子满足 $A^* = A$
  - 如果 $H =\mathbb{C}^n$ ，那么 $A$ 的伴随算子 $A^*$ 满足
    $\langle{Ax, y}\rangle_{H} = \langle{x, A^*y}\rangle_{H}.$
    Hermite矩阵满足 $A^* = A$
在无限维的自伴算子，在有限维是Hermite矩阵，所以它也叫做Hermite算子。将量子力学建立在Hilbert空间的基础之上，可以统一Schrödinger的波动力学、Heisenberg的矩阵力学
- 如果 $A$ 的特征值为 $\lambda$ 、单位特征向量为 $\psi_\lambda$ ，那么物理量在状态 $\psi_\lambda$ 下的测量值为
  $\langle{A\psi_\lambda, \psi_\lambda}\rangle = \langle{\lambda\psi_\lambda, \psi_\lambda}\rangle = \lambda.$
  类似于Hermite矩阵的特征值为实数，物理量的测量值也是自伴算子的实特征值

Hamilton算子

现在我们考虑Schrödinger方程
$i\hbar\partial_t\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi.$
之所以在方程中乘以 $i\hbar$ ，是因为利用Fourier变换，可得
$\bigg(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\bigg)^\wedge = \frac{\hbar^2|k|^2}{2m} = \frac{|p|^2}{2m}.$
由Hamilton方程可知，在相空间中，保守力场的Hamiltonian为
$\mathcal{H} = \frac{|p|^2}{2m} + V(r).$
因此，带有势能 $V(r)$ 的Schrödinger方程为
$i\hbar\partial_t\psi = \bigg(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(r)\bigg)\psi,$
并且Hamilton算子为 $\mathcal{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(r)$
注意，在Hamiltonian中，位于动量空间，位于位置空间。因此，Hamilton算子也可以在这两个空间中表示
- 在位置空间中，Hamilton算子有一个微分算子、一个乘法算子
  $\mathcal{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(r).$
- 在动量空间中，Hamilton算子有一个乘法算子、一个卷积算子
  $\widehat{\mathcal{H}} = \frac{|p|^2}{2m} + \widehat{V}(p / \hbar) *.$