IEEE 754浮点数

浮点数

浮点数格式
- 基数 $\beta \geq 2$
- 精度 $p \geq 2$
- 最小指数 $e_{min}$ 、最大指数 $e_{max}$
- 在实际的浮点数格式中， $e_{min} < 0 < e_{max}$ 。在IEEE 754中， $e_{min} = 1 - e_{max}$
在上面的浮点数格式中，浮点数至少具有一种表示
$x = M \cdot \beta^{e - p + 1}.$
- $M$ 为整数的有效数字， $|M| \leq \beta^p - 1$
- $e$ 为整数的指数， $e_{min} \leq e \leq e_{max}$
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IEEE754-2008

浮点数格式
- 基数 $\beta = 2$ ，或者 $10$
- 最小指数、最大指数
  $e_{min} = 1 - e_{max}.$
二进制交换格式
- 16位
  $p = 11,\; e_{min} = -14,\; e_{max} = +15.$
- 32位，单精度
  $p = 24,\; e_{min} = -126,\; e_{max} = +127.$
- 64位，双精度
  $p = 53,\; e_{min} = -1022,\; e_{max} = +1023.$
- 128位
  $p = 113,\; e_{min} = -16382,\; e_{max} = +16383.$
二进制编码
- 1位符号 $S$ ， $W_E$ 位指数 $E$ ， $(p - 1)$ 位尾部有效数字 $T$
- ，
  - NaN（Not a Number，非数）
- ，
  - 无穷大
    $(-1)^S \times (+\infty).$
- - 规范化浮点数
    $(-1)^S \times 2^{E - b} \times (1 + T \cdot 2^{1 - p}).$
  - 指数偏移为 $b = e_{max} = 2^{W_E - 1} - 1$
- ，
  - 非规范化浮点数
    $(-1)^S \times 2^{e_{min}} \times (0 + T \cdot 2^{1 - p}).$
- ，
  - 零
    $(-1)^S \times (+0).$