佚名

HiFi和量子力学——测不准原理

音乐的五线谱

  • 关于音乐，可参见图解和声。关于时频分析，可参见频率响应和采样率
  • 在音乐的五线谱中
    • 水平方向表示时间（音符的时值），时间上的变化是音乐的节奏（Rhythm）
    • 垂直方向表示频率（音符的音高），频率上的变化是音乐的曲调（Tune）
    • 进一步，节奏、曲调的结合是旋律（Melody）
  • 按照时频分析的观点
    • x(t)是信号的时域特征，它对应于音乐的节奏
    • \widehat{x}(f)是信号的频域特征，它对应于音乐的曲调
  • 人在听音乐时，能够同时感知到节奏、曲调的结合（即旋律），所以我们需要同时对时域和频域进行分析。在理想情形下，我们应该得到时间t的频率f，也就是信号的瞬时频率。然而，测不准原理指出，我们无法测量出信号的瞬时频率。因此，绝对的HiFi（High Fidelity，高保真）是无法实现的

时频分析中的测不准原理

  • 设H为Hilbert空间，A、B: H \to H为自伴算子。那么，对于任意a、b \in \mathbb{R}，我们有

        \[ \frac 12|\langle{[A, B]f, f}\rangle_H| \leq ||(A - a)f||_H \cdot ||(B - b)f||_H. \]

    • A、B的Poisson括号为

          \[ [A, B] = AB - BA = (A - a)(B - b) - (B - b)(A - a). \]

    • 由于A、B为自伴算子，故

          \begin{equation*}\begin{split} \langle{[A, B]f, f}\rangle_H &= \langle{(A - a)(B - b)f, f}\rangle_H - \langle{(B - b)(A - a)f, f}\rangle_H \\ &= \langle{(B - b)f, (A - a)f}\rangle_H - \langle{(A - a)f, (B - b)f}\rangle_H \\ &= 2iIm\langle{(B - b)f, (A - a)f}\rangle_H. \end{split}\end{equation*}

      由Cauchy-Schwartz不等式，可得

          \[ |\langle{[A, B]f, f}\rangle_H| \leq 2||(A - a)f||_H \cdot ||(B - b)f||_H. \]

  • 考虑如下的乘法算子和微分算子。它们是Hilbert空间L^2(\mathbb{R})上的自伴算子

        \[ Xf(x) = xf(x),\; Pf(x) = \frac{1}{2\pi i}f'(x). \]

    • X、P的Poisson括号为

          \[ [X, P]f = \frac{1}{2\pi i}[xf' - (xf)'] = -\frac{1}{2\pi i}f. \]

    • 由上面的笔记可知，

          \[ \frac{1}{4\pi}||f||_2^2 = \frac 12|\langle{[X, P]f, f}\rangle_{L^2}| \leq ||(X - a)f||_2 \cdot ||(P - b)f||_2. \]

      对||(P - b)f||_2使用Plancherel定理，可得

          \[ \frac{1}{4\pi}||f||_2^2 \leq ||(x - a)f||_2 \cdot ||(\xi - b)\widehat{f}||_2. \]

  • 在时频分析中，测不准原理为

        \[ \frac{1}{4\pi}||x||_2^2 \leq ||(t - t_0)x(t)||_2 \cdot ||(f - f_0)\widehat{x}(f)||_2. \]

    • ||x||_2^2是信号的能量，||(t - t_0)x(t)||_2、||(f - f_0)\widehat{x}(f)||_2分别表示信号在时间t_0、频率f_0 附近的集中程度
    • 如果我们测量一定能量的信号，那么它越集中于任何时间t_0，就越偏离于任何频率f_0。因此，我们无法测量出信号的瞬时频率。这与测量仪器的精度无关，而是由数学本质决定的

量子力学中的Heisenberg测不准原理

  • 我们使用量子化的物质波中的Fourier变换。由此可知
    • 位置r经过Fourier变换后变为k，并且动量p = \hbar k，所以我们可以得到位置r、动量p的Heisenberg测不准原理
    • 当波函数\psi接近于粒子时，|\psi(r, t)|^2保持不变，所以我们可以认为|\psi|^2对应于粒子的概率密度函数
  • 考虑如下的乘法算子和微分算子。它们是Hilbert空间L^2(\mathbb{R}^3)上的自伴算子

        \[ X_i\psi(r) = x_i\psi(r),\; P_j\psi(r) = \frac 1i\frac{\partial \psi}{\partial x_j}(r). \]

    • X_i、P_j的Poisson括号为

          \[ [X_i, P_j]\psi = \frac 1i[x_i\partial_j\psi - \partial_j(x_i\psi)] = -\frac 1i\psi\delta_{ij}. \]

    • 由上面的笔记可知，

          \[ \frac 12||\psi||_2^2\delta_{ij} = \frac 12|\langle{[X_i, P_j]\psi, \psi}\rangle_{L^2}| \leq ||(X_i - a)\psi||_2 \cdot ||(P_j - b)\psi||_2. \]

      对||(P_j - b)\psi||_2使用Plancherel定理，可得

          \[ \frac 12||\psi||_2^2\delta_{ij} \leq ||(x_i - a)\psi(r)||_2 \cdot ||(k_j - b)\widehat{\psi}(k)||_2. \]

  • 对于概率密度函数|\psi|^2，我们有||\psi||_2 = 1，并且
    • 位置的数学期望为

          \[ \mathbb{E}[x_i] = \int_{\mathbb{R}^3} x_i|\psi(r)|^2dr. \]

      位置的方差为

          \[ (\Delta x_i)^2 = \int_{\mathbb{R}^3} (x_i - \mathbb{E}[x_i])^2|\psi(r)|^2dr. \]

    • 动量的数学期望为

          \[ \mathbb{E}[p_j] = \int_{\mathbb{R}^3} \hbar k_j|\widehat{\psi}(k)|^2dk. \]

      动量的方差为

          \[ (\Delta p_j)^2 = \int_{\mathbb{R}^3} (\hbar k_j - \mathbb{E}[p_j])^2|\widehat{\psi}(k)|^2dk. \]

  • 在量子力学中，Heisenberg测不准原理为

        \[ \frac 12\delta_{ij} \leq ||(x_i - \mathbb{E}[x_i])\psi(r)||_2 \cdot ||(k_j - \mathbb{E}[p_j] / \hbar)\widehat{\psi}(k)||_2 = \Delta x_i \cdot \frac{1}{\hbar}\Delta p_j. \]

    利用\hbar = \frac{h}{2\pi}，h为Planck常数，当i = j时，

        \[ \Delta x_i \cdot \Delta p_i \geq \frac{h}{4\pi}. \]

  • 在Lagrange力学中，根据Newton方程，给定初始位置、初始速度，我们可以求解任意时刻的位置、速度。然而，在量子力学中，我们无法同时测量出任意时刻的位置、速度。这与测量仪器的精度无关，而是由数学本质决定的