Bessel函数

参考资料：常微分方程教程

Bessel方程

Bessel方程为如下二阶ODE。在平面波、球面波、柱面波中，它对应于球面波的径向方向
$x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,\; \alpha \geq 0.$
利用幂级数解法，令 $y = \sum_{k = 0}^{+\infty} C_kx^{k + \rho}$ ， $C_0 \neq 0$ 。那么，
$\begin{equation*}\begin{split} 0 &= x^2\sum_{k = 0}^{+\infty} C_k(k + \rho)(k + \rho - 1)x^{k + \rho - 2} + x\sum_{k = 0}^{+\infty} C_k(k + \rho)x^{k + \rho - 1} \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (x^2 - \alpha^2)\sum_{k = 0}^{+\infty} C_kx^{k + \rho} \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} C_k[(k + \rho)^2 - \alpha^2]x^{k + \rho} + \sum_{k = 0}^{+\infty} C_kx^{k + \rho + 2} \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} [C_k(k + \rho - \alpha)(k + \rho + \alpha) + C_{k - 2}]x^{k + \rho}, \end{split}\end{equation*}$
其中， $C_{-1} = C_{-2} = 0$ 。对于 $k = 0$ ，
$C_0(\rho - \alpha)(\rho + \alpha) = 0.$

第一种情形，
- 我们有递推公式
  $C_kk(2\alpha + k) + C_{k - 2} = 0.$
- 我们有 $C_{-1} = C_1 = \cdots = C_{2m - 1} = \cdots = 0$ ，并且
  $C_{2m} = \prod_{l = 1}^m \frac{-1}{2l(2\alpha + 2l)}C_0 = \frac{(-1)^m}{2^{2m}m!\prod_{l = 1}^m(\alpha + l)}C_0.$
  如果取 $C_0 = \frac{1}{2^\alpha\Gamma(\alpha + 1)}$ ，那么我们可以得到解
  $y = J_\alpha(x) = \sum_{m = 0}^\infty \frac{(-1)^m}{\Gamma(m + 1)\Gamma(\alpha + m + 1)}\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^{2m + \alpha}.$
第二种情形，
- 我们有递推公式
  $C_k(k - 2\alpha)k + C_{k - 2} = 0.$
- 如果 $2\alpha$ 不是整数，那么我们有 $C_{-1} = C_1 = \cdots = C_{2m - 1} = \cdots = 0$ ，并且
  $C_{2m} = \prod_{l = 1}^m \frac{-1}{(2l - 2\alpha)2l}C_0 = \frac{(-1)^m}{2^{2m}m!\prod_{l = 1}^m(l - \alpha)}C_0.$
  如果取 $C_0 = \frac{1}{2^{-\alpha}\Gamma(-\alpha + 1)}$ ，那么我们可以得到解
  $y = J_{-\alpha}(x) = \sum_{m = 0}^\infty \frac{(-1)^m}{\Gamma(m + 1)\Gamma(-\alpha + m + 1)}\bigg(\frac{x}{2}\bigg)^{2m - \alpha}.$
- 如果 $2\alpha$ 是奇数 $2n + 1$ ，那么 $C_{2m}$ 和上面一样，并且
  $C_{-1} = C_1 = \cdots = C_{2n - 1} = 0.$
  递推公式在 $k = 2n + 1$ 时成立。如果令 $C_{2n + 1} = 0$ ，那么我们回到上面的情形
- 如果 $2\alpha$ 是偶数 $2n$ ，那么
  $C_0 \neq 0, \ldots, C_{2n - 2} \neq 0.$
  递推公式在 $k = 2n$ 时不成立
当 $\alpha$ 不是整数时，我们有两个线性无关的解 $J_\alpha$ 、 $J_{-\alpha}$ 。通常，我们使用 $J_\alpha$ ，以及
$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x)\cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}.$
当 $\alpha$ 是整数 $n$ 时，我们使用 $J_n$ ，以及 $Y_n = \lim_{\alpha \to n} Y_\alpha$
实际上， $J_\alpha(x)$ 、 $Y_\alpha(x)$ 类似于 $\sin(x)$ 、 $\cos(x)$ ，它们分别称为第一类、第二类Bessel函数

Bessel函数

Bessel方程

Bessel函数

球面Bessel函数

生成函数