平面波、球面波、柱面波

参考资料：Introduction to Sonar Transducer Design

Laplace-Beltrami算子

对于电磁波
- 在量子化的物质波中，我们考虑频谱连续的情形
- 在天线理论的电磁波中，我们考虑频谱只有单一频率的情形
对于声波，我们考虑频谱离散的情形
$p(\cdot, t) = \sum_a p_a(\cdot)e^{j\omega_a t},$
然后求解齐次Helmholtz方程
$\Delta p_a + k^2p_a = 0,\; k = \frac{\omega_a}{c}.$
我们不使用Fourier变换，而是在直角坐标系、球坐标系、柱坐标系下使用分离变量法，这更加具有几何意义
在局部坐标系下，Laplace算子可以视为Riemann流形上的Laplace-Beltrami算子
- 直角坐标系
  $\Delta = \partial_{xx} + \partial_{yy} + \partial_{zz}.$
- 球坐标系
  - 坐标变换
    $x = r\sin\theta\cos\phi,\; y = r\sin\theta\sin\phi,\; z = r\cos\theta.$
  - Jacobi矩阵
    $J = \begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0\end{bmatrix}.$
  - Riemann度量
    $g = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta\end{bmatrix},\; G = \det(g) = r^4\sin^2\theta.$
  - Laplace-Beltrami算子
    $\begin{equation*}\begin{split} \Delta &= \frac{1}{\sqrt{G}}[\partial_r(\sqrt{G}g^{rr}\partial_r) + \partial_\theta(\sqrt{G}g^{\theta\theta}\partial_\theta) + \partial_\phi(\sqrt{G}g^{\phi\phi}\partial_\phi)] \\ &= \frac{1}{r^2\sin\theta}\bigg[\partial_r(r^2\sin\theta\partial_r) + \partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta) + \partial_\phi\bigg(\frac{1}{\sin\theta}\partial_\phi\bigg)\bigg] \\ &= \partial_{rr} + 2r^{-1}\partial_r + r^{-2}\partial_{\theta\theta} + r^{-2}\cot\theta\partial_\theta + (r\sin\theta)^{-2}\partial_{\phi\phi}. \end{split}\end{equation*}$
- 柱坐标系
  - 坐标变换
    $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z.$
  - Jacobi矩阵
    $J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$
  - Riemann度量
    $g = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\; G = \det(g) = r^2.$
  - Laplace-Beltrami算子
    $\begin{equation*}\begin{split} \Delta &= \frac{1}{\sqrt{G}}[\partial_r(\sqrt{G}g^{rr}\partial_r) + \partial_\theta(\sqrt{G}g^{\theta\theta}\partial_\theta) + \partial_z(\sqrt{G}g^{zz}\partial_z)] \\ &= \frac 1r\bigg[\partial_r(r\partial_r) + \partial_\theta(r^{-1}\partial_\theta) + \partial_z(r\partial_z)\bigg] \\ &= \partial_{rr} + r^{-1}\partial_r + r^{-2}\partial_{\theta\theta} + \partial_{zz}. \end{split}\end{equation*}$

求解齐次Helmholtz方程

直角坐标系——平面波
- 考虑分离变量的解
  $p_a = X(x)Y(y)Z(z).$
  由Laplace-Beltrami算子在直角坐标系下的表达式，可得
  $\frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y} + \frac{Z''}{Z} + k^2 = 0.$
- 由于方程中包含 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的项分别只有 $\frac{X''}{X}$ 、 $\frac{Y''}{Y}$ 、 $\frac{Z''}{Z}$ ，故我们分别令其为常数 $-k_x^2$ 、 $-k_y^2$ 、 $-k_z^2$ 。由此可知，
  $\begin{equation*}\begin{split} X(x) &= C_1e^{jk_xx} + C_2e^{-jk_xx}, \\ Y(y) &= C_3e^{jk_yy} + C_4e^{-jk_yy}, \\ Z(z) &= C_5e^{jk_zz} + C_6e^{-jk_zz}. \end{split}\end{equation*}$
- 波动方程的解为如下平面波的线性组合
  $p = e^{j[(\pm k_x)x + (\pm k_y)y + (\pm k_z)z]}e^{j\omega_at},$
  其中 $k_x^2+ k_y^2 + k_z^2 = k^2$
球坐标系——球面波
- 考虑分离变量的解
  $p_a = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi).$
  由Laplace-Beltrami算子在球坐标系下的表达式，可得
  $\frac{R'' + 2r^{-1}R'}{R} + r^{-2}\frac{\Theta'' + \cot\theta\Theta'}{\Theta} + (r\sin\theta)^{-2}\frac{\Phi''}{\Phi} + k^2 = 0.$
- 由于方程中包含的项只有，故我们令其为常数。由此可知，
  $\Phi = C_1\cos(m\phi) + C_2\sin(m\phi).$
  - 由球谐函数可知，Laplace-Beltrami算子在2维球面上的谱为 $-n(n + 1)$ 。因此，当 $m = 0$ 时，包含 $\theta$ 的项 –> $-n(n + 1)$ ，包含 $r$ 的项 –> $n(n + 1)$
- 由于方程中包含 $r$ 的项只有 $\frac{R'' + 2r^{-1}R'}{R} + k^2$ ，故我们令其在乘以 $r^2$ 之后等于常数 $n(n + 1)$ 。由此可知，
  $r^2R'' + 2rR' + [k^2r^2 - n(n + 1)]R = 0.$
  令 $x = kr$ 。由于
  $\frac{d}{dx} = \frac{dr}{dx}\frac{d}{dr} = \frac 1k\frac{d}{dr},$
  $\frac{d^2}{dx^2} = \frac 1k\frac{d}{dr}\bigg(\frac 1k\frac{d}{dr}\bigg) = \frac{1}{k^2}\frac{d^2}{dr^2},$
  故 $R$ 满足球面Bessel方程，
  $x^2\frac{d^2R}{dx^2} + 2x\frac{dR}{dx} + [x^2 - n(n + 1)]R = 0.$
  由Bessel函数可知，其解为
  $R = C_3j_n(kr) + C_4y_n(kr),$
  其中 $j_n$ 、 $y_n$ 分别为第一类、第二类球面Bessel函数
- 最后求解 $\Theta$ ，
  $\Theta'' + \cot\theta\Theta' + \bigg[n(n + 1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\bigg]\Theta = 0.$
  令 $x = \cos\theta$ 。由于
  $\frac{d}{dx} = \frac{d\theta}{dx}\frac{d}{d\theta} = \frac{1}{-\sin\theta}\frac{d}{d\theta},$
  $\frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{-\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\bigg(\frac{1}{-\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\bigg) = \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2}{d\theta^2} - \frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}\frac{d}{d\theta},$
  故 $\Theta$ 满足Legendre方程，
  $(1 - x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2} - 2x\frac{d\Theta}{dx} + \bigg[n(n + 1) - \frac{m^2}{1 - x^2}\bigg]\Theta = 0.$
  由Legendre函数可知，其解为
  $\Theta = P_n^m(\cos\theta),$
  其中 $P_n^m$ 为连带Legendre函数
- 如果我们考虑声波向外传播，那么波动方程的解为如下球面波的线性组合
  $\begin{equation*}\begin{split} p &= h_n(kr)P_n^m(\cos\theta)\cos(m\phi)e^{j\omega_at}, \\ p &= h_n(kr)P_n^m(\cos\theta)\sin(m\phi)e^{j\omega_at}, \end{split}\end{equation*}$
  其中 $h_n(x) = j_n(x) - jy_n(x)$ 称为球面Hankel函数。在天线理论的电磁波中，我们可以得到旋转对称的解，即 $\Theta = \Phi = 1$ ， $m = n = 0$ ，并且
  $R(r) = j_0(kr) - jy_0(kr) = \frac{\sin(kr)}{kr} + j\frac{\cos(kr)}{kr} = j\frac{e^{-jkr}}{kr}.$
柱坐标系——柱面波
- 考虑分离变量的解
  $p_a = R(r)\Theta(\theta)Z(z).$
  由Laplace-Beltrami算子在柱坐标系下的表达式，可得
  $\frac{R'' + r^{-1}R'}{R} + r^{-2}\frac{\Theta''}{\Theta} + \frac{Z''}{Z} + k^2 = 0.$
- 由于方程中包含 $z$ 的项只有 $\frac{Z''}{Z}$ ，故我们令其为常数 $-m^2$ 。由此可知，
  $Z = C_1e^{jmz} + C_2e^{-jmz}.$
- 由于方程中包含 $\theta$ 的项只有 $\frac{\Theta''}{\Theta}$ ，故我们令其为常数 $-n^2$ 。由此可知，
  $\Theta = C_3\cos(n\theta) + C_4\sin(n\theta).$
- 最后求解 $R$ ，
  $r^2R'' + rR' + [(k^2 - m^2)r^2 - n^2]R = 0.$
  令 $x = \sqrt{k^2 - m^2}r$ 。类似于球坐标系的情形， $R$ 满足Bessel方程，
  $x^2\frac{d^2R}{dx^2} + x\frac{dR}{dx} + (x^2 - n^2)R = 0.$
  其解为
  $R = C_5J_n(\sqrt{k^2 - m^2}r) + C_6Y_n(\sqrt{k^2 - m^2}r),$
  其中 $J_n$ 、 $Y_n$ 分别为第一类、第二类Bessel函数
- 如果我们考虑声波向外传播，那么波动方程的解为如下柱面波的线性组合
  $\begin{equation*}\begin{split} p &= H_n(\sqrt{k^2 - m^2}r)\cos(n\theta)e^{jmz}e^{j\omega_at}, \\ p &= H_n(\sqrt{k^2 - m^2}r)\sin(n\theta)e^{jmz}e^{j\omega_at}, \\ p &= H_n(\sqrt{k^2 - m^2}r)\cos(n\theta)e^{-jmz}e^{j\omega_at}, \\ p &= H_n(\sqrt{k^2 - m^2}r)\sin(n\theta)e^{-jmz}e^{j\omega_at}, \end{split}\end{equation*}$
  其中 $H_n(x) = J_n(x) - jY_n(x)$ 称为Hankel函数