线性声学的方程

参考资料：Acoustics An Introduction to Its Physical Principles and Applications

守恒定律

设 $V$ 为流体中的体积（比如空气）
一般地，设 $T$ 为张量。那么，
$\frac{d}{dt}\int_V Tdx = \int_V \partial_tTdx + \int_{\partial V} Tv \cdot ndS = \int_V [\partial_tT + div(T \otimes v)]dx,$
其中， $v$ 为流体的速度，并且
$div(T \otimes v) = \langle{DT, v}\rangle + Tdiv(v).$
质量守恒定律
$0 = \frac{d}{dt}\int_V \rho dx = \int_V [\partial_t\rho + div(\rho v)]dx,$
其中， $\rho$ 为流体的密度。由于 $V$ 任意，故
$\partial_t\rho + \langle{D\rho, v}\rangle + \rho div(v) = 0.$
动量守恒定律
$-\int_V \nabla pdx = -\int_{\partial V} pndS = \frac{d}{dt}\int_V \rho vdx = \int_V [\partial_t(\rho v) + div(\rho v \otimes v)]dx,$
其中， $p$ 为流体的压强。由于 $V$ 任意，故
$\partial_t(\rho v) + \langle{D(\rho v), v}\rangle + \rho vdiv(v)= -\nabla p.$
由质量守恒定律，上述方程等价于
$\rho[\partial_tv + \langle{Dv, v}\rangle] = -\nabla p.$

为了得到线性声学的方程，我们需要做如下假设
- 我们只考虑 $p_0$ 、 $\rho_0$ 处的线性扰动
  $p' = p_0 + p,\; \rho' = \rho_0 + \rho,$
  所以方程只保留线性、一阶项
- 流体在空间上是均匀的（homogeneous），在时间上是静止的（quiescent），所以 $p_0$ 、 $\rho_0$ 与空间、时间无关
由上面的方程，
$\partial_t(\rho_0 + \rho) + \langle{D(\rho_0 + \rho), v}\rangle + (\rho_0 + \rho)div(v) = 0,$
$(\rho_0 + \rho)[\partial_tv + \langle{Dv, v}\rangle] = -\nabla(p_0 + p).$
如果方程只保留线性、一阶项，那么可得线性声学的方程
$\partial_t\rho + \rho_0div(v) = 0,$
$\rho_0\partial_tv = -\nabla p.$
如果流体是可压缩的，等温压缩率为
$\kappa = \frac 1\rho\frac{\partial\rho}{\partial p},$
那么， $p_0$ 、 $\rho_0$ 处的线性扰动满足
$\rho = \frac{\partial\rho}{\partial p}(p_0)p = \kappa\rho_0p.$
从而，
$\kappa\rho_0\partial_{tt}p = \partial_{tt}\rho = -div(\rho_0\partial_tv) = \Delta p,$
这是波动方程。因此，声音可以通过声波的形式传播，传播速度为 $c = (\kappa\rho_0)^{-\frac 12}$