佚名

Legendre函数

参考资料：常微分方程教程

Legendre方程

  • Legendre方程为如下二阶ODE。在平面波、球面波、柱面波中，它对应于球面波的纬度方向

        \[ (1 - x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + n(n + 1)y = 0. \]

    利用幂级数解法，令y = \sum_{k = 0}^{+\infty} C_kx^k。那么，

        \begin{equation*}\begin{split} 0 &= (1 - x^2)\sum_{k = 2}^{+\infty} C_kk(k - 1)x^{k - 2} - 2x\sum_{k = 1}^{+\infty} C_kkx^{k - 1} + n(n + 1)\sum_{k = 0}^{+\infty} C_kx^k \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} [C_{k + 2}(k + 2)(k + 1) - C_kk(k - 1) - 2C_kk + n(n + 1)C_k]x^k \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} [C_{k + 2}(k + 2)(k + 1) + C_k(n - k)(n + k + 1)]x^k. \end{split}\end{equation*}

  • 因此，我们可以得到递推公式，

        \[ C_{k + 2} = -\frac{(n - k)(n + k + 1)}{(k + 2)(k + 1)}C_k. \]

    由此可知，

        \begin{equation*}\begin{split} C_{2m} &= C_0\prod_{l = 0}^{m - 1} -\frac{(n - 2l)(n + 2l + 1)}{(2l + 2)(2l + 1)} \\ &= C_0 \cdot (-1)^m\frac{\prod_{l = 0}^{m - 1} (n - 2l) \cdot \prod_{l = 0}^{m - 1} (n + 2l + 1)}{(2m)!}, \\ C_{2m + 1} &= C_1\prod_{l = 1}^m -\frac{(n - 2l + 1)(n + 2l)}{(2l + 1)(2l)} \\ &= C_1 \cdot (-1)^m\frac{\prod_{l = 1}^m (n - 2l + 1) \cdot \prod_{l = 1}^m (n + 2l)}{(2m + 1)!}. \end{split}\end{equation*}

    当n为偶数时，只有有限个C_{2m}非零；当n为奇数时，只有有限个C_{2m + 1}非零。在两种情形下，我们都可以得到多项式的解

Legendre函数

  • 下面，我们需要使用双阶乘的公式。对于k \geq1，

        \begin{equation*}\begin{split} (2k)!! &= \prod_{l = 1}^k 2l = 2^kk!, \\ (2k - 1)!! &= \frac{(2k)!}{(2k)!!} = \frac{(2k)!}{2^kk!}. \end{split}\end{equation*}

  • 当n = 2p时，我们可以得到多项式的解

        \[ y = C_0\sum_{m = 0}^p (-1)^m\frac{\prod_{l = 0}^{m - 1} (2p - 2l) \cdot \prod_{l = 0}^{m - 1} (2p + 2l + 1)}{(2m)!}x^{2m}. \]

    计算

        \begin{equation*}\begin{split} &\mathrel{\phantom{=}} \prod_{l = 0}^{m - 1} (2p - 2l)\prod_{l = 0}^{m - 1} (2p + 2l + 1) \\ &= \frac{(2p)!!}{(2p - 2m)!!}\frac{(2p + 2m - 1)!!}{(2p - 1)!!} \\ &= \frac{2^pp!}{2^{p - m}(p - m)!}\frac{(2p + 2m)!/[2^{p + m}(p + m)!]}{(2p)!/(2^pp!)} \\ &= \frac{p!(2p + 2m)!p!}{(p - m)!(2p)!(p + m)!}. \end{split}\end{equation*}

    因此，在相差一个关于p的常数下，我们可以得到Legendre函数

        \begin{equation*}\begin{split} P_n(x) &= \frac{1}{2^{2p}}\sum_{m = 0}^p \frac{(-1)^{p - m}}{(2m)!}\frac{(2p + 2m)!}{(p - m)!(p + m)!}x^{2m} \\ &= \frac{1}{2^{2p}}\sum_{k = 0}^p \frac{(-1)^k}{(2p - 2k)!}\frac{(4p - 2k)!}{k!(2p - k)!}x^{2p - 2k}. \end{split}\end{equation*}

  • 当n = 2p + 1时，我们可以得到多项式的解

        \[ y = C_1\sum_{m = 0}^p (-1)^m\frac{\prod_{l = 1}^m (2p - 2l + 2) \cdot \prod_{l = 1}^m (2p + 2l + 1)}{(2m + 1)!}x^{2m + 1}. \]

    类似地，我们可以得到Legendre函数

        \begin{equation*}\begin{split} P_n(x) &= \frac{1}{2^{2p}}\sum_{m = 0}^p \frac{(-1)^{p - m}}{(2m + 1)!}\frac{(2p + 2m + 1)!}{(p - m)!(p + m)!}x^{2m + 1} \\ &= \frac{1}{2^{2p + 1}}\sum_{k = 0}^p \frac{(-1)^k}{(2p - 2k + 1)!}\frac{(4p - 2k + 2)!}{k!(2p - k + 1)!}x^{2p - 2k + 1}. \end{split}\end{equation*}

  • 因为Legendre函数为多项式，所以它也叫做Legendre多项式。在两种情形下，我们都可以得到如下的表达式

        \[ P_n(x) = \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{[\frac n2]} \frac{(-1)^k(2n - 2k)!}{(n - 2k)!k!(n - k)!}x^{n - 2k}. \]

  • 因为Legendre函数的系数和二项式系数类似，所以我们也可以得到如下的Rodrigues公式

        \begin{equation*}\begin{split} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n &= \frac{d^n}{dx^n}\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}x^{2n - 2k}(-1)^{k} \\ &= \sum_{k = 0}^{[\frac n2]}\frac{d^n}{dx^n} \binom{n}{k}x^{2n - 2k}(-1)^{k} \\ &= \sum_{k = 0}^{[\frac n2]} (-1)^{k}\frac{n!}{k!(n - k)!}\frac{(2n - 2k)!}{(n - 2k)!}x^{n - 2k} \\ &= 2^nn!P_n(x). \end{split}\end{equation*}

    即

        \[ P_n(x) = \frac{1}{2^nn!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n. \]

连带Legendre函数

生成函数