Maxwell方程组

静电学

设 $E(r)$ 为静电场。由Coulomb定律，
$dE(r) = \frac{\rho(r')(r - r')}{|r - r'|^3}dV',$
其中， $\rho(r)$ 为电荷密度。由线性叠加原理，
$E(r) = \int \frac{\rho(r')(r - r')}{|r - r'|^3}dV'.$
令 $\varphi(r) = \int \frac{\rho(r')}{|r - r'|}dV'$ 为电势。那么，
$E(r) = -\nabla\varphi(r).$
静电学的方程
- $E(r)$ 的旋度（curl）为
  $curlE(r) = -curl\nabla\varphi(r) = 0.$
- $E(r)$ 的散度（div）为
  $divE(r) = -div\nabla\varphi(r) = -\Delta\varphi(r).$
  注意到
  $\Delta\varphi(r) = \int \rho(r') \cdot [-4\pi\delta(r - r')]dV' = -4\pi\rho(r).$
  因此，
  $divE(r) = 4\pi\rho(r).$

静磁学

设 $H(r)$ 为静磁场。由Biot-Savart定律，
$dH(r) = \frac 1c\frac{j(r') \times (r - r')}{|r - r'|^3}dV',$
其中， $j(r)$ 为电流密度， $c$ 为光速。由线性叠加原理，
$H(r) = \int \frac 1c\frac{j(r') \times (r - r')}{|r - r'|^3}dV'.$
令 $A(r) = \int \frac 1c\frac{j(r')}{|r - r'|}dV'$ 为磁势。那么，
$H(r) = curlA(r).$
由电荷守恒定律（与时间无关），
$0 = \int j(r) \cdot dS = \int divj(r)dV.$
因为积分区域任意，所以
$divj(r) = 0.$
静磁学的方程
- $H(r)$ 的散度（div）为
  $divH(r) = div\,curlA(r) = 0.$
- $H(r)$ 的旋度（curl）为
  $curlH(r) = curl\,curlA(r) = \nabla divA(r) - \Delta A(r).$
  注意到
  $\Delta A(r) = \int \frac 1cj(r') \cdot [-4\pi\delta(r - r')]dV' = -\frac{4\pi}{c}j(r),$
  以及由分部积分公式，
  $\begin{equation*}\begin{split} divA(r) &= -\int \frac 1cj(r') \cdot \nabla'\frac{1}{|r - r'|}dV' \\ &= \int \frac 1cdiv'[j(r')] \cdot \frac{1}{|r - r'|}dV' \\ &= 0. \end{split}\end{equation*}$
  这里，我们需要假设积分区域外 $j(r) = 0$ ，从而分部积分的边界项消失。因此，
  $curlH(r) = \frac{4\pi}{c}j(r).$

导出Maxwell方程组

设 $E(r, t)$ 、 $H(r, t)$ 分别为与时间有关的电场、磁场
（磁生电）由Faraday定律，
$\begin{equation*}\begin{split} 0 &= \int E(r, t) \cdot dl + \frac 1c\int \frac{\partial H(r, t)}{\partial t} \cdot dS \\ &= \int \bigg[curlE(r, t) + \frac 1c\frac{\partial H(r, t)}{\partial t}\bigg] \cdot dS. \end{split}\end{equation*}$
因为积分区域任意，所以
$curlE(r, t) = -\frac 1c\frac{\partial H(r, t)}{\partial t}.$
由电荷守恒定律（与时间有关），
$\begin{equation*}\begin{split} 0 &= \int \frac{\partial\rho(r, t)}{\partial t}dV + \int j(r, t) \cdot dS \\ &= \int \bigg[\frac{\partial\rho(r, t)}{\partial t} + divj(r, t)\bigg]dV. \end{split}\end{equation*}$
因为积分区域任意，所以
$\frac{\partial\rho(r, t)}{\partial t} + divj(r, t) = 0.$
（电生磁）注意， $div\,curlH(r, t) = 0$ 必须成立。我们令
$curlH(r, t) = \frac 1c\frac{\partial E(r, t)}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}j(r, t),$
从而，
$\begin{equation*}\begin{split} div\,curlH(r, t) &= \frac{4\pi}{c}\bigg[\frac{1}{4\pi}\frac{\partial divE(r, t)}{\partial t} + divj(r, t)\bigg] \\ &= \frac{4\pi}{c}\bigg[\frac{\partial\rho(r, t)}{\partial t} + divj(r, t)\bigg] \\ &= 0. \end{split}\end{equation*}$
最终，Maxwell方程组为
$\begin{equation*}\begin{split} curlE(r, t) &= -\frac 1c\frac{\partial H(r, t)}{\partial t}, \\ curlH(r, t) &= \frac 1c\frac{\partial E(r, t)}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}j(r, t), \\ divE(r, t) &= 4\pi\rho(r, t), \\ divH(r, t) &= 0. \end{split}\end{equation*}$

电磁波

如果 $\rho(r, t) = 0$ ， $j(r, t) = 0$ ，那么由Maxwell方程组，
$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E(r, t)}{\partial t^2} = -curl\,curlE(r, t) = \Delta E(r, t),$
$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2H(r, t)}{\partial t^2} = -curl\,curlH(r, t) = \Delta H(r, t).$
这是波动方程。因此，电磁场可以通过电磁波的形式传播，传播速度为光速