物理动画基础

Newton方程

关于Newton方程，可参见Lagrange力学
物理动画基于Newton方程
- 建模（Modeling）
  - 定义力的模型 $F(r, v, t)$
  - 由Newton方程，可以得到加速度 $a(t)$
- 初始条件（Initial Condition）
  - 定义初始位置 $r(0)$ 、初始速度 $v(0)$
- 仿真（Simulation）
  - 求解任意时刻的位置 $r(t)$ 、速度 $v(t)$
物理动画的基本循环
- current state = initial state
- $t = 0$
- while do
  - Determine $F(t)$
  - Determine $a(t)$ by Newton’s equation
  - new state = integration of $a(t)$ over timestep $h$
  - current state = new state
  - $t = t + h$
- end

一个简单的例子

自由落体的小球
- $v_0 = 0$ ; $x_0 = 100$ ;
- $t = 0$ ; $n = 0$ ;
- while do
  - $a_n = -10$ ;
  - if is an output frame time then
    - output $v_n$ , $x_n$ ;
  - end
  - $v_{n + 1} = v_n + a_nh$ ;
  - $x_{n + 1} = x_n + v_nh$ ;
  - $n = n + 1$ ; $t = nh$ ;
- end
如果想要改变物理动画的效果，那么只需改变力的模型，比如
- 增加空气阻力
  $F_{air} = -dv.$
  由Newton方程，
  $a = g - \frac dmv.$
- 增加风力
  $F_{wind} = dv_{wind}.$
  由Newton方程，
  $a = g + \frac dm(v_{wind} - v).$