完备度量空间

实数的完备性

  • 实数的完备性有多种等价的描述
  • 从不动点定理到编程语言中,我们有弱完备空间、强完备空间
    • (确界原理 –> 强完备空间)如果集合有上界(或下界),那么它有上确界(或下确界)
    • (单调收敛定理 –> 弱完备空间)如果序列递增(或递减),并且有上界(或下界),那么它收敛
      • 由确界原理,序列收敛到上确界(或下确界)
    • (闭区间套定理 –> 弱完备空间)如果一列嵌套的闭区间的长度趋近于0,那么它们趋近于一个点
      • 由单调收敛定理,一列嵌套的闭区间的左、右端点收敛到一个点
  • 在这里,我们有度量、拓扑
    • (Bolzano-Weierstrass定理 –> 度量)如果序列有界,那么它有一个收敛子列
      • 序列包含在一个闭区间中。将闭区间等分为2个子闭区间,其中一个子闭区间包含序列中的无限个点
      • 不断重复上述过程,可以得到一列嵌套的闭区间,以及每个闭区间中的一点构成的子列。由闭区间套定理,子列收敛
    • (Cauchy收敛定理 –> 度量)Cauchy列收敛
      • 由Bolzano-Weierstrass定理,Cauchy列(有界)有一个收敛子列,所以它收敛到子列的极限
    • 有限覆盖定理、连通性定理 –> 拓扑
  • 利用实数的完备性,我们可以找到具有特殊性质的实数,比如闭区间上连续函数的最大值和最小值。再加上Fermat原理,可得中值定理的导数

一般的完备度量空间

  • 从不动点定理到编程语言中,弱完备空间、强完备空间需要偏序关系,而一般的度量空间没有偏序关系。因此,我们用度量、拓扑来描述完备性