奇异同调群的定义

边缘算子

关于单纯形，可参见三角剖分和单纯复形
由电磁场和de Rham上同调可知
- 我们可以考虑边缘算子 $\partial$ ，它应该满足 $\partial\partial = 0$
- 外积 $\wedge$ 为反对称性、线性的，它对应于行列式。正如行列式的展开具有交错和的形式，外微分算子 $d$ 的展开也具有交错和的形式。利用伴随性，边缘算子 $\partial$ 也一样
首先，我们考虑2维情形
- 对于三角形区域 $\Omega = [v_0v_1v_2]$ ，其边界 $\partial\Omega$ 为
  $\xymatrix@C=1.4em{ {} & v_2 \ar[dl]_{-[v_0v_2]} & {} \\ v_0 \ar[rr]_{[v_0v_1]} & {} & v_1 \ar[ul]_{[v_1v_2]} }$
  此时，边缘算子 $\partial$ 在2维区域上的展开具有交错和的形式
  $\partial\Omega = \sum_{i = 0}^2 (-1)^i[v_0 \cdots \widehat{v_i} \cdots v_2].$
- 对于一般的拓扑空间，我们需要取中的三角形区域
  - 一种办法是取 $X$ 上的三角剖分（对应于单纯同调），这对 $X$ 有限制
  - 另一种办法是取三角形到 $X$ 的连续映射（对应于奇异同调）。因为所有三角形都是同胚的，所以我们只需固定一个标准2-单纯形 $\Delta^2$ ，然后取
    $\sigma: \Delta^2 \to X.$
    $\sigma$ 可能是退化的，像集不同胚于三角形，所以它称为奇异 $2$ -单纯形
现在，我们考虑维情形
- 固定一个标准 $n$ -单纯形
  $\Delta^n = [e_0 \cdots e_n].$
  然后取奇异 $n$ -单纯形
  $\sigma: \Delta^n \to X.$
- 边缘算子 $\partial$ 在奇异 $n$ -单纯形 $\sigma$ 上的作用为
  $\partial\sigma = \sum_{i = 0}^n (-1)^i\sigma|_{[e_0 \cdots \hat{e}_i \cdots e_n]},$
  满足 $\partial\partial = 0$ ，
  $\begin{equation*}\begin{split} \partial_{n - 1}\partial_n(\sigma) &= \partial_{n - 1}\bigg(\sum_{i = 0}^n (-1)^i\sigma|_{[e_0 \cdots \hat{e}_i \cdots e_n]}\bigg) \\ &= \sum_{i = 0}^n (-1)^i\sum_{j < i} (-1)^j\sigma|_{[e_0 \cdots \hat{e}_j \cdots \hat{e}_i \cdots e_n]} \\ &\quad + \sum_{i = 0}^n (-1)^i\sum_{j > i} (-1)^{j - 1}\sigma|_{[e_0 \cdots \hat{e}_i \cdots \hat{e}_j \cdots e_n]} \\ &= \sum_{i = 0}^n \sum_{j < i} [(-1)^{i + j} + (-1)^{i + j - 1}]\sigma|_{[e_0 \cdots \hat{e}_j \cdots \hat{e}_i \cdots e_n]} \\ &= 0. \end{split}\end{equation*}$
- 由于需要进行加法，故取奇异 $n$ -单纯形生成的自由Abel群 $C_n(X)$ ，它称为奇异链群。同时，边缘算子 $\partial$ 自由扩张到 $C_n(X)$ ，得到Abel群的同态，
  $\partial_n: C_n(X) \to C_{n - 1}(X).$

奇异链复形、奇异同调群

奇异链群、边缘算子构成Abel群、Abel群的同态形成的序列
$\xymatrix@C=1.4em{ \cdots \ar[r] & C_n(X) \ar[r]^-{\partial_n} & C_{n - 1}(X) \ar[r] & \cdots \ar[r] & C_1(X) \ar[r]^-{\partial_1} & C_0(X) \ar[r]^-{\partial_0} & 0 },$
满足。这样的结构称为奇异链复形
- $ker\partial$ 中的元素称为闭链， $im\partial$ 中的元素称为边缘链。因为奇异链复形满足 $\partial\partial = 0$ ，所以
  $im\partial_{n + 1} \subset ker\partial_n \subset C_n(X).$
- 奇异同调群为
  $H_n(X) = ker\partial_n/im\partial_{n + 1}.$
  边缘链一定是闭链，但是闭链不一定是边缘链，奇异同调群反映了从闭链到边缘链的障碍
拓扑空间的连续映射，诱导奇异链复形的链映射
$f_*: C_n(X) \to C_n(Y),\; \sigma \mapsto f \circ \sigma,$
满足，
$f_*\partial(\sigma) = \sum_{i = 0}^n (-1)^if \circ \sigma|_{[e_0 \cdots \hat{e}_i \cdots e_n]} = \partial f_*(\sigma).$
- 链映射将闭链映射到闭链，将边缘链映射到边缘链，
  $\partial c_n = 0 \Rightarrow \partial f_*(c_n) = f_*\partial(c_n) = 0,$
  $c_{n - 1} = \partial(c_n) \Rightarrow f_*(c_{n - 1}) = f_*\partial(c_n) = \partial f_*(c_n).$
- 链映射 $f_*$ 诱导奇异同调群的同态
  $f_*: H_n(X) \to H_n(Y),\; [c_n] \mapsto [f_*(c_n)].$
  这里，代表元素 $c_n$ 为闭链，并且边缘链 $\partial_{n + 1}c_{n + 1}$ 等价于0

奇异同调群的长正合列

由从链复形到同调群可知，从链复形的短正合列，可以得到同调群的长正合列
关键在于构造链复形的短正合列。一种办法是使用子群、商群的分解，
$\xymatrix@C=1.4em{ 0 \ar[r] & A \ar[r]^-{i} & A' \ar[r]^-{p} & A' / A \ar[r] & 0 }$
因此，我们有奇异链复形的短正合列，
$\xymatrix@C=1.4em{ 0 \ar[r] & C_*(A) \ar[r]^-{i} & C_*(X) \ar[r]^-{p} & C_*(X) / C_*(A) \ar[r] & 0 }$
其中，为子空间
- 将 $(X, A)$ 作为拓扑空间对，将 $C_*(X, A) = C_*(X) / C_*(A)$ 作为相对奇异链群，它对应于相对奇异同调群 $H_*(X, A)$ 。因此，我们有奇异同调群的长正合列
  $\xymatrix@C=1.4em{ \cdots \ar[r] & H_{n + 1}(X, A) \ar[r]^-{\partial} & H_n(A) \ar[r]^-{i_*} & H_n(X) \ar[r]^-{p_*} & H_n(X, A) \ar[r] & \cdots }$
- 奇异同调群的长正合列，既可以看成由子空间的分解生成，
  $X = A \cup (X - A),$
  也可以看成由子空间、商空间的分解生成，
  $A \hookrightarrow X \to X / A.$
  第二种视角和同伦群的长正合列一致，比如对于纤维丛 $F \hookrightarrow E \to B$ 或者Lie群 $H \hookrightarrow G \to G / H$ ，我们有同伦群的长正合列