佚名

一般的测度和积分

参考资料：Measure Theory

一般的测度

  • 类似于Lebesgue测度，我们可以建立一般的测度。设X为集合
    • （外测度）X上的外测度为

          \[ \mu^*: \mathscr{P}(X) \to [0, +\infty]. \]

      它满足如下条件
      • （空集）我们有\mu^*(\emptyset) = 0
      • （单调性）如果A \subset B，那么\mu^*(A) \leq \mu^*(B)
      • （可数次可加性）如果A = \cup_i A_i，那么\mu^*(A) \leq \sum_i \mu^*(A_i)
    • （\sigma-代数）我们只考虑满足可加性的集合A \in \mathscr{P}(X)，

          \[ \mu^*(B) = \mu^*(A \cap B) + \mu^*(A^c \cap B) \text{ for any } B \in \mathscr{P}(X). \]

      这称为Carathéodory判别准则。满足Carathéodory判别准则的集合，称为\mu^*-可测集，它们构成一个子族

          \[ \mathscr{M}_{\mu^*} \subset \mathscr{P}(X). \]

      这一子族称为\sigma-代数，它满足如下条件
      • （空集）我们有\emptyset \in \mathscr{M}_{\mu^*}
      • （补集）如果A \in \mathscr{M}_{\mu^*}，那么A^c \in \mathscr{M}_{\mu^*}
      • （可数并）如果A_i \in \mathscr{M}_{\mu^*}，那么\cup_i A_i \in \mathscr{M}_{\mu^*}
    • （测度）对于\mu^*-可测集，外测度\mu^*提升为测度\mu，它满足如下条件
      • （空集）我们有\mu(\emptyset) = 0
      • （可数可加性）如果A_i \in \mathscr{M}_{\mu^*}，并且两两不相交，那么

            \[ \mu(\cup_i A_i) = \sum_i \mu(A_i). \]

        注意，可数可加性强于单调性、可数次可加性。如果A \subset B，那么

            \[ \mu(A) \leq \mu(A) + \mu(B - A) = \mu(B). \]

  • 测度空间是集合、集合上的\sigma-代数、\sigma-代数上的测度构成的三元组

        \[ (X, \mathscr{A}, \mu). \]

    • 由上述可知，如果建立了X上的外测度\mu^*，那么我们有测度空间

          \[ (X, \mathscr{M}_{\mu^*}, \mu). \]

    • 对于X = \mathbb{R}^d，我们通常使用Lebesgue测度空间

          \[ (\mathbb{R}^d, \mathscr{M}_{\lambda^*}, \lambda). \]

  • 如果只有集合、集合上的\sigma-代数，那么我们可以得到可测空间

        \[ (X, \mathscr{A}). \]

    由于可测空间没有指定测度，故我们可以在上面建立不同的测度
    • \sigma-代数是二进制、逻辑和Boole代数中的幂集代数的扩展。代数支持有限个元素的加法，\sigma-代数支持可数个元素的加法。这里，Sigma源于可数求和\Sigma_i

从Riemann积分到测度空间上的积分

  • Lebesgue控制收敛定理、Fubini定理