佚名

范畴的定义

范畴、函子

  • 范畴的组成部分
    • （对象）全体对象可能不再是一个集合，而是一个类
    • （态射）类似于集合的映射f:A \to B
    • （复合）类似于映射的复合gf，满足结合律
    • （恒等）类似于恒等映射，fid_A = f，id_Bf = f
  • 函子既作用于对象，也作用于态射，并且保持复合、恒等
    • （对象）A \mapsto F(A)
    • （态射）(f: A \to B) \mapsto (F(f): F(A) \to F(B))
    • （复合）F(gf) = F(g)F(f)
    • （恒等）F(id_A) = id_{F(A)}
  • 一般的范畴\mathcal{C}，需要定义对象、态射，剩下的复合、恒等应该是态射的性质
    • 对象记为obj(\mathcal{C})
    • 态射记为Hom_{\mathcal{C}}(A, B)，A、B \in obj(\mathcal{C})
    • 通常，对象不是集合，但是态射是集合，此时\mathcal{C}称为局部小范畴。在其他情形下，如果二者都是（或者都不是）集合，那么\mathcal{C}称为小范畴（或者大范畴）
  • 如果将对象视为顶点，将态射视为有向边（箭头），那么范畴可以用有向图来描述
    • 范畴通常只依赖于有向图的结构，而与对象、态射的具体内容无关。比如，有向图经过的路径，对应于态射的复合；如果两条路径的起点、终点相同，那么态射的复合相等，这构成一个交换图表
    • 如果范畴\mathcal{C}的有向图顶点不变，箭头反向，那么可以得到反范畴\mathcal{C}^{op}。比如，链复形范畴的反范畴为上链复形范畴
    • 我们可以不断将箭头提升至高阶，比如
      • （0阶）对象的箭头为态射f: A \to B，它对应于映射
      • （1阶）态射的箭头为函子F: f \to g，它对应于算子
      • （2阶）函子的箭头为自然变换\tau: F \to G，它对应于算子之间的变换
    • 因为有向图可以视为单纯复形，所以在高等范畴论中，我们也可以从单纯复形的视角来研究范畴

万有性质

  • 集合论和范畴论
    • 在集合论中，我们可以取集合的元素，然后定义新的集合
    • 在范畴论中，我们只能取对象、态射，所以需要用万有性质来定义新的对象
  • 范畴论和编程语言
    • 在范畴论中，我们不能对元素进行操作；就像在编程语言中，我们不能对逻辑门进行操作
    • 范畴论提供了一层抽象封装，使得我们可以考虑高层次结构；就像编程语言提供了一层抽象封装，使得我们可以考虑高层次算法
  • 正向极限（Direct Limit）、反向极限（Inverse Limit）
    • 在从不动点定理到编程语言中，我们有上确界、下确界，它们可以用万有性质来定义
      • 上确界既是上界，也是最小的上界
        • 对任意上界y，我们有x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq \sup x_i \leq y
      • 下确界既是下界，也是最大的下界
        • 对任意下界y，我们有y \leq \inf x_i \leq \cdots \leq x_2 \leq x_1
    • 因此，万有性质既要求定义的对象满足条件，也要求它具有最特殊的性质。由于后者需要用“任意对象”来叙述，故这种性质是“万有的（Universal）”
      • 类似地，对任意物体，我们有Newton的万有引力定律（Newton’s Law of Universal Gravitation）
    • 如果将偏序关系（\leq）更换为范畴中的箭头（\rightarrow），那么上确界可以定义为递增序列的正向极限，下确界可以定义为递减序列的反向极限
      • （上确界，正向极限）对任意上界Y，我们有

            \[ \xymatrix@C=1.4em{X_1 \ar[r] & X_2 \ar[r] & \cdots \ar[r] & \underset{\longrightarrow}{\lim} X_i \ar[r] & Y.} \]

      • （下确界，反向极限）对任意下界Y，我们有

            \[ \xymatrix@C=1.4em{Y \ar[r] & \underset{\longleftarrow}{\lim} X_i \ar[r] & \cdots \ar[r] & X_2 \ar[r] & X_1.} \]

    • 因为正向极限、反向极限分别对应于入射（Injection）、投射（Projection），所以它们也叫做入射极限（Injective Limit）、投射极限（Projective Limit）
      • 类似地，在同调代数中，我们需要用入射消解（Injective Resolution）、投射消解（Projective Resolution）来定义导出函子

对偶

  • 正向极限（入射极限）、反向极限（投射极限）是在偏序关系的图表下定义的对象，余极限（Colimit）、极限（Limit）是在一般的图表下定义的对象。因为它们的箭头是相反的，所以这一现象称为对偶（Duality）
    • 正向、入射 –> 余极限
    • 反向、投射 –> 极限
  • 始对象（Initial Object）、终对象（Final Object）
    • （余极限）对于空图表（没有对象，没有态射）

          \[ \emptyset \]

      始对象定义为

          \[ \xymatrix@C=1.4em{ \ar[r] & Initial \ar[r] & Y } \]

    • （极限）对于空图表（没有对象，没有态射）

          \[ \emptyset \]

      终对象定义为

          \[ \xymatrix@C=1.4em{ Y \ar[r] & Final \ar[r] & } \]

  • 余乘积（Coproduct）、乘积（Product）
    • （余极限）对于离散图表（有对象，没有态射）

          \[ X_\alpha, \text{ for any } \alpha \in \mathscr{A} \]

      余乘积定义为

          \[ \xymatrix@C=1.4em{ X_\alpha \ar[r] & \coprod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_\alpha \ar[r] & Y } \]

    • （极限）对于离散图表（有对象，没有态射）

          \[ X_\alpha, \text{ for any } \alpha \in \mathscr{A} \]

      乘积定义为

          \[ \xymatrix@C=1.4em{ Y \ar[r] & \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_\alpha \ar[r] & X_\alpha } \]

  • 推出（Pushout）、拉回（Pullback）
    • （余极限）对于如下图表（有对象，有态射）

          \[ \xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & X_2 \\ X_1 & } \]

      推出定义为

          \[ \xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & X_2 \ar[d] \ar[ddr] & \\ X_1 \ar[r] \ar[drr] & X_1 \cup_A X_2 \ar[dr] & \\ & & Y } \]

      这里，我们省略了A \to X_1 \cup_A X_2、A \to Y，它们可以由交换图表中态射的复合得到
    • （极限）对于如下图表（有对象，有态射）

          \[ \xymatrix{ & X_2 \ar[d] \\ X_1 \ar[r] & A } \]


          \[ \xymatrix{ Y \ar[drr] \ar[ddr] \ar[dr] & & \\ & X_1 \times_A X_2 \ar[r] \ar[d] & X_2 \ar[d] \\ & X_1 \ar[r] & A } \]

      这里，我们省略了Y \to A、X_1 \times_A X_2 \to A，它们可以由交换图表中态射的复合得到

集合论中的对象

  • 在上面的定义中，名称、记号源于集合论
  • 集合论和类型论
    • 在集合论中，我们有不交并\coprod、Descartes积\prod
    • 在类型论中，我们有并集（|）、乘积（*）