从Euclid几何到非Euclid几何

Euclid几何的平行公设

关于Euclid几何、非Euclid几何，可参见从初等数论到交换代数、算术几何
Euclid几何有如下两种形式。在这里，我们考虑第二种形式
- Euclid的公理化几何 –> Hilbert的公理化几何
- Descartes的解析几何 –> Riemann的Riemann几何
解析几何提供了 $n$ 维空间
$\mathbb{R}^n = \{ (x^1, \ldots, x^n) : x^1, \ldots, x^n \in \mathbb{R} \}.$
Riemann几何提供了 $n$ 维空间上的典范Riemann度量
$g_{can} = (dx^1)^2 + \cdots + (dx^n)^2.$
Euclid空间为 $(\mathbb{R}^n, g_{can})$ ，其上的几何为Euclid几何