晶体的对称性

晶体学和几何拓扑

关于晶体群，可参见Euclid几何、晶体群
我们考虑如下晶体群
$\Gamma = \mathbb{Z}^3,$
它对应的Euclid流形为3维环面
$\mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3.$
在流形的三角剖分中，我们考虑将流形剖分为单纯形（Simplex），此时流形对应于一个单纯复形（Simplicial Complex）。这在2维、3维是可以实现的
- 2维流形对应于一个2维单纯复形，即多边形（Polygon），然后我们需要将多边形的边界进行粘贴
- 3维流形对应于一个3维单纯复形，即多面体（Polyhedron），然后我们需要将多面体的边界进行粘贴
- 比如，上面的3维环面 $\mathbb{T}^3$ 可以视为将立方体 $[0, 1]^3$ 的3个相对的面进行粘贴
单纯形也可以视为胞腔（Cell），单纯复形也可以视为胞腔复形（Cell Complex）或者CW复形。在晶体学中，我们将胞腔称为单位晶胞（Unit Cell）。由上述可知，单位晶胞相当于将多面体的边界进行粘贴
- Poincaré曾经猜想，3维同调球（即同调群同构于 $S^3$ 的3维闭流形）同胚于 $S^3$ ，然而他找到了一个反例——Poincaré同调球，它相当于一个正12面体的边界进行粘贴，它是3维同调球，然而它的基本群的阶为120
- 据此，Poincaré提出疑问，基本群为0的3维闭流形是否同胚于 $S^3$ ？这称为Poincaré猜想。进一步，广义Poincaré猜想为 $n$ 维同伦球（即同伦群同构于 $S^n$ 的 $n$ 维闭流形）同胚于 $S^n$
- 在化学中，我们也有多边形、多面体的结构，比如苯环（Benzene Ring） $\ce{C_6H_6}$ 为正6边形，最小的富勒烯（Fullerene） $\ce{C_{20}}$ 为正12面体