Lebesgue测度

参考资料：Measure Theory

公理化的层次

数学的历史
- （算术化）Newton、Leibniz建立了微积分的基本原理。然而，无穷小微分存在矛盾之处。微积分的算术化利用极限，将无穷小微分化归为有限差分，所以二者的演算是类似的。关于算术化，可参见从切空间到局部
- （公理化）有限差分建立在实数的加法、减法、乘法、除法之上，极限建立在实数的全序关系之上。实数的公理化将实数作为一个集合，它是一个完备的全序域。然而，Russell悖论指出，集合的构造本身存在矛盾之处，所以我们需要公理化集合论。关于公理化，可参见公理化集合论
- （结构化）我们希望将数学建立在公理化集合论的基础之上。然而，Gödel不完备定理指出，在算术的公理系统中，某些命题的真假是不可证明的。因此，我们从公理转向更广泛的结构，从集合转向更广泛的范畴。关于结构化，可参见范畴的定义
- （形式化）现在，我们可以将数学形式化，然后将其建立在计算机的计算之上。形式化通常使用类型论，它源于Russell。关于形式化，可参见数学基础——从集合论、范畴论到同伦类型论
在这里，我们位于公理化的层次。在集合上，我们可以建立度量、拓扑、测度
- 度量 –> 收敛、极限
- 拓扑 –> 连续
- 测度 –> 积分
- 在度量和拓扑中，我们考虑度量、拓扑。在这里，我们考虑测度
  - 将实数作为集合，在集合上建立测度 –> 实分析、测度论
  - 将概率作为一种特殊的测度 –> 概率论
- 最后，导数、微分需要建立在域上。关于实数域，可参见从切空间到局部；关于复数域，可参见复数域上的分析

从Newton-Leibniz公式出发

我们从Newton-Leibniz公式出发
$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x)dx,$
然后考虑这一公式的成立条件
- 如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，那么由Lagrange微分中值定理，
  $\begin{equation*}\begin{split} f(b) - f(a) = \sum_i [f(x_i) - f(x_{i - 1})] = \sum_i f'(\xi_i)(x_i - x_{i - 1}). \end{split}\end{equation*}$
  关于 $f'$ 的求和为Riemann和，如果它收敛，那么求和的极限为Riemann积分，此时，Newton-Leibniz公式成立
- 如果 $f'$ 无界，那么Riemann和可以趋近于无穷。因此，我们需要 $f'$ 有界，此时
  $\sum_i m_i(x_i - x_{i - 1}) \leq \sum_i f'(\xi_i)(x_i - x_{i - 1}) \leq \sum_i M_i(x_i - x_{i - 1}),$
  其中， $M_i$ 、 $m_i$ 分别为 $f'$ 在区间 $[x_{i - 1}, x_i]}$ 的上、下确界。进一步，如果不等式两边收敛到同一个值，那么Riemann和也收敛到该值。因此，我们还需要
  $\sum_i \omega_i(x_i - x_{i - 1}) \to 0, \text{ where } \omega_i = M_i - m_i.$
（振幅）为区间上的振幅。它可以扩展为幂集上的函数，
$\omega: \mathscr{P}([a, b]) \to [0, +\infty],\; \omega(A) = sup_A f' - inf_Af'.$
它具有如下性质
- （空集）我们有 $\omega(\emptyset) = 0$
- （子集）如果 $A \subset B$ ，那么 $\omega(A) \leq \omega(B)$
- （可数并）如果 $A = \cup_i A_i$ ，那么 $\omega(A) = \sup_i \omega(A_i)$
（长度）为区间的长度。为了将其扩展为幂集上的函数，我们用开区间来覆盖集合，然后取总长度的下确界，
$\lambda^*: \mathscr{P}([a, b]) \to [0, +\infty],\; \lambda^*(A) = \inf_{A \subset \cup_i I_i} \sum_i Len(I_i).$
它具有如下性质
- （空集）我们有 $\lambda^*(\emptyset) = 0$
- （子集）如果 $A \subset B$ ，那么 $B$ 的开区间覆盖 $\mathscr{U}$ ，也是 $A$ 的开区间覆盖。因此，
  $\lambda^*(A) \leq Total\_Len(\mathscr{U}).$
  对所有 $\mathscr{U}$ 取下确界，可得
  $\lambda^*(A) \leq \lambda^*(B).$
- （可数并）如果 $A = \cup_i A_i$ ，那么 $A_i$ 的开区间覆盖 $\mathscr{U}_i$ ，可以合成为 $A$ 的开区间覆盖。因此，
  $\lambda^*(A) \leq Total\_Len(\cup_i \mathscr{U}_i) = \sum_i Total\_Len(\mathscr{U}_i).$
  对所有 $\mathscr{U}_i$ 取下确界，可得
  $\lambda^*(A) \leq \sum_i \lambda^*(A_i).$
（Lebesgue外测度）类似地，在计算机图形学的重心坐标中，光线追踪的BVH（Bounding Volume Hierarchy，包围体积层次结构）用AABB（Axis-Aligned Bounding Box，沿坐标轴对齐的包围盒）来包围中的三角形网格；在这里，我们用开的AABB来覆盖中的集合，
$\lambda^*: \mathscr{P}(\mathbb{R}^d) \to [0, +\infty],\; \lambda^*(A) = \inf_{A \subset \cup_i I_i} \sum_i Vol(I_i).$
称为上的Lebesgue外测度，它的性质和上面相同
- （空集）我们有 $\lambda^*(\emptyset) = 0$
- （单调性）如果 $A \subset B$ ，那么 $\lambda^*(A) \leq \lambda^*(B)$
- （可数次可加性）如果 $A = \cup_i A_i$ ，那么 $\lambda^*(A) \leq \sum_i \lambda^*(A_i)$
（Lebesgue外测度是体积的推广）设为闭的AABB，那么它的Lebesgue外测度等于它的体积。注意，AABB –> 沿坐标轴对齐，立方体 –> 不一定沿坐标轴对齐；对于后者，我们需要考虑AABB的仿射变换
- 一方面，用一个体积更大的、开的AABB来覆盖 $\overline{I}$ ，使得
  $\lambda^*(\overline{I}) \leq Vol(\overline{I}) + \epsilon.$
  令 $\epsilon \to 0$ ，可得 $\lambda^*(\overline{I}) \leq Vol(\overline{I})$
- 另一方面，由实数的完备性可知， $\overline{I}$ 为紧的。因此，对于 $\overline{I}$ 的任意一个开的AABB覆盖 $\mathscr{U}$ ，存在一个有限覆盖 $\mathscr{U}' \subset \mathscr{U}$ 。将 $\overline{I}$ 分解为有限个子AABB，使得它们都包含在 $\mathscr{U}'$ 中的某个AABB中。从而，我们有体积不等式
  $Vol(\overline{I}) \leq Total\_Vol(\mathscr{U}') \leq Total\_Vol(\mathscr{U}).$
  对所有 $\mathscr{U}$ 取下确界，可得 $Vol(\overline{I}) \leq \lambda^*(\overline{I})$

Lebesgue测度

尽管Lebesgue外测度的确是体积的一种推广，然而它只有次可加性，我们希望得到可加性。一种方法是只考虑满足可加性的集合 $A \in \mathscr{P}(\mathbb{R}^d)$ ，
$\lambda^*(B) = \lambda^*(A \cap B) + \lambda^*(A^c \cap B) \text{ for any } B \in \mathscr{P}(\mathbb{R}^d).$
这称为Carathéodory判别准则——对于不相交的集合 $A \cap B$ 、 $A^c \cap B$ ，它们的Lebesgue外测度可以相加
满足Carathéodory判别准则的集合，称为Lebesgue可测集，它们构成一个子族
$\mathscr{M}_{\lambda^*} \subset \mathscr{P}(\mathbb{R}^d).$
由的次可加性，我们只需检验
$\lambda^*(B) \geq \lambda^*(A \cap B) + \lambda^*(A^c \cap B) \text{ for any } B \in \mathscr{P}(\mathbb{R}^d).$
一个典型的例子是Lebesgue外测度为0的集合，称为零测集。如果，那么。因此，满足Carathéodory判别准则，
- （空集） $\lambda^*(\emptyset) = 0$ ，所以 $\emptyset \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$
- （超平面）沿坐标轴对齐的超平面 $H$ 可以用总体积任意小的、开的AABB来覆盖， $\lambda^*(H) = 0$ ，所以 $H \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$
- （半空间）沿坐标轴对齐的超平面 $H$ 将 $\mathbb{R}^d$ 划分为两个开的半空间 $H_+, H_-$ 。对于 $B$ 的任意一个开的AABB覆盖，我们可以沿着 $H$ 将其划分为两个开的AABB覆盖，分别覆盖
  $H_+ \cap B,\; H_- \cap B.$
  因此， $H_+, H_-$ 满足Carathéodory判别准则， $H_+, H_- \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$
对于Lebesgue可测集，Lebesgue外测度提升为Lebesgue测度，它满足可加性。为此，我们还需要先说明相应的集合为Lebesgue可测集
- （补集）如果 $A \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$ ，那么 $A^c \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$
- （有限并）如果 $A_1$ 、 $A_2 \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$ ，那么利用Carathéodory判别准则，
  $\begin{equation*}\begin{split} \lambda^*(B) &= \lambda^*(A_1 \cap B) + \lambda^*(A_1^c \cap B) \\ &= \lambda^*(A_1 \cap B) + \lambda^*[A_2 \cap (A_1^c \cap B)] + \lambda^*[A_2^c \cap (A_1^c \cap B)]. \end{split}\end{equation*}$
  由于 $A_1 \cup (A_2 \cap A_1^c) = A_1 \cup A_2$ 、 $A_1^c \cap A_2^c = (A_1 \cup A_2)^c$ ，故
  $\lambda^*(B) \geq \lambda^*[(A_1 \cup A_2) \cap B] + \lambda^*[(A_2 \cup A_1)^c \cap B].$
  因此， $A_1 \cup A_2 \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$ 。利用数学归纳法，可得有限并。进一步，利用补集、有限并，可得有限交
- （有限可加性）如果 $A_1$ 、 $A_2 \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$ ，并且二者不相交，那么
  $\begin{equation*}\begin{split} \lambda(A_1 \cup A_2) &= \lambda[A_1 \cap (A_1 \cup A_2)] + \lambda[A_1^c \cap (A_1 \cup A_2)] \\ &= \lambda(A_1) + \lambda(A_2). \end{split}\end{equation*}$
  利用数学归纳法，可得有限可加性
- （可数并）对于 $A_1, A_2, \ldots \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$ ，不妨设它们两两不相交。否则，我们可以考虑并集相同的、两两不相交的集合
  $A_1, A_2 \cap A_1^c, A_3 \cap (A_1 \cup A_2)^c \ldots \in \mathscr{M}_{\lambda^*}.$
  利用有限可加性，
  $\begin{equation*}\begin{split} \lambda^*(B) &= \lambda^*[(\cup_{i = 1}^n A_i) \cap B] + \lambda^*[(\cup_{i = 1}^n A_i)^c \cap B] \\ &= \sum_{i = 1}^n \lambda^*(A_i \cap B) + \lambda^*[(\cup_{i = 1}^n A_i)^c \cap B] \\ &\geq \sum_{i = 1}^n \lambda^*(A_i \cap B) + \lambda^*[(\cup_{i = 1}^\infty A_i)^c \cap B]. \end{split}\end{equation*}$
  令 $n \to \infty$ ，可得
  $\begin{equation*}\begin{split} \lambda^*(B) &\geq \sum_{i = 1}^\infty \lambda^*(A_i \cap B) + \lambda^*[(\cup_{i = 1}^\infty A_i)^c \cap B] \\ &\geq \lambda^*[(\cup_{i = 1}^\infty A_i) \cap B] + \lambda^*[(\cup_{i = 1}^\infty A_i)^c \cap B]. \end{split}\end{equation*}$
  因此， $\cup_{i = 1}^\infty A_i \in \mathscr{M}_{\lambda^*}$ 。进一步，利用补集、可数并，可得可数交
- （可数可加性）利用有限可加性，
  $\lambda(\cup_{i = 1}^\infty A_i) \geq \lambda(\cup_{i = 1}^n A_i) = \sum_{i = 1}^n \lambda(A_i).$
  令 $n \to \infty$ ，可得
  $\lambda(\cup_{i = 1}^\infty A_i) \geq \sum_{i = 1}^\infty \lambda(A_i).$
  相反方向的不等式可以由可数次可加性得到
有了补集、可数并，我们可以得到更多的Lebesgue可测集
- 半空间 –> （有限交） –> 开的AABB –> （可数并） –> 开集 –> （补集、可数并） –> Borel集
- 一个Lebesgue可测集，用一列开的AABB覆盖来趋近它的Lebesgue测度。如果取这一列开覆盖的可数交，那么可以得到一个Borel集，它和Lebesgue可测集只相差一个零测集
- 仿射变换为同胚，它将Borel集变为Borel集；由下面的计算可知，它将零测集变为零测集。因此，仿射变换将Lebesgue可测集变为Lebesgue可测集（仿射变换也可以减弱为Jacobi矩阵有界的 $C^1$ 微分同胚）
有了可数可加性，我们可以计算更多的Lebesgue测度
- 设 $I$ 为开的AABB，它的边界 $\partial I$ 包含在有限个超平面中，所以为零测集。因此，
  $\lambda(I) = \lambda(I) + \lambda(\partial I) = \lambda(\overline{I}) = Vol(\overline{I}).$
  类似地，对于 $I$ 和部分边界的并集，它的Lebesgue测度也等于它的体积
- 由计算机图形学的几何变换可知，仿射变换可以由平移、伸缩、切变、镜面反射生成。设为开的AABB
  - 如果 $\phi$ 为平移、伸缩、镜面反射，那么 $\phi(I)$ 也为AABB，并且
    $\lambda[\phi(I)] = |\det(D\phi)| \cdot \lambda(I).$
  - 如果 $\phi$ 为切变，那么 $\phi(I)$ 在切变的两个维度上，由AABB变为平行四边形。在平面几何中，我们可以利用面积割补法，证明平行四边形的面积等于AABB的面积，这本质上是Lebesgue测度的可加性。因此，我们有
    $\lambda[\phi(I)] = |\det(D\phi)| \cdot \lambda(I).$
- 对于一般的Lebesgue可测集、一般的仿射变换，我们也有
  $\lambda[\phi(\Omega)] = |\det(D\phi)| \cdot \lambda(\Omega).$
  这里，Jacobi矩阵等于的可逆的线性变换部分。因为仿射变换可以由平移、伸缩、切变、镜面反射生成，所以我们只需考虑为四种情形之一
  - 如果 $I_i$ 为 $\Omega$ 的开的AABB覆盖，那么 $\phi(I_i)$ 为 $\phi(\Omega)$ 的开覆盖。因此，
    $\lambda[\phi(\Omega)] \leq \sum_i \lambda[\phi(I_i)] = |\det(D\phi)| \cdot \sum_i \lambda(I_i).$
    对所有 $I_i$ 取下确界，可得
    $\lambda[\phi(\Omega)] \leq |\det(D\phi)| \cdot \lambda(\Omega).$
  - 对于相反方向的不等式，我们使用逆变换
    $\lambda(\Omega) \leq |\det(D\phi^{-1})| \cdot \lambda[\phi(\Omega)].$