参考资料:Measure Theory
公理化的层次
- 数学的发展历程
- (算术化)Newton、Leibniz建立了微积分的基本原理。然而,无穷小微分存在矛盾之处。微积分的算术化利用极限,将无穷小微分化归为有限差分,所以二者的演算是类似的。关于算术化,可参见从切空间到局部
- (公理化)有限差分建立在实数的加法、减法、乘法、除法之上,极限建立在实数的全序关系之上。实数的公理化将实数作为一个集合,它是一个完备的全序域。然而,Russell悖论指出,集合的构造本身存在矛盾之处,所以我们需要公理化集合论。关于公理化,可参见公理化集合论
- (结构化)我们希望将数学建立在公理化集合论的基础之上。然而,Gödel不完备定理指出,在算术的公理系统中,某些命题的真假是不可证明的。因此,我们从公理转向更广泛的结构,从集合转向更广泛的范畴。关于结构化,可参见范畴的定义
- (形式化)现在,我们可以将数学形式化,然后将其建立在计算机的计算之上。形式化通常使用类型论,它源于Russell。关于形式化,可参见数学基础——从集合论、范畴论到同伦类型论
- 在这里,我们位于公理化的层次。在集合上,我们可以建立度量、拓扑、测度
从Newton-Leibniz公式出发
- 我们从Newton-Leibniz公式出发
- 如果
在
上连续,在
上可微,那么由Lagrange微分中值定理,
的求和为Riemann和,如果它收敛,那么求和的极限为Riemann积分,此时,Newton-Leibniz公式成立
- 如果
无界,那么Riemann和可以趋近于无穷。因此,我们需要
有界,此时
、
分别为
在区间
的上、下确界。进一步,如果不等式两边收敛到同一个值,那么Riemann和也收敛到该值。因此,我们还需要
- 如果
- (振幅)
为区间
上
的振幅。它可以扩展为幂集上的函数,
- (空集)我们有
- (子集)如果
,那么
- (可数并)如果
,那么
- (空集)我们有
- (长度)
为区间
的长度。为了将其扩展为幂集上的函数,我们用开区间
来覆盖集合,然后取总长度的下确界,
- (空集)我们有
- (子集)如果
,那么
的开区间覆盖
,也是
的开区间覆盖。因此,
取下确界,可得
- (可数并)如果
,那么
的开区间覆盖
,可以合成为
的开区间覆盖。因此,
取下确界,可得
- (空集)我们有
- (Lebesgue外测度)类似地,在计算机图形学的重心坐标中,光线追踪的BVH(Bounding Volume Hierarchy,包围体积层次结构)用AABB(Axis-Aligned Bounding Box,沿坐标轴对齐的包围盒)来包围
中的三角形网格;在这里,我们用开的AABB来覆盖
中的集合,
称为
上的Lebesgue外测度,它的性质和上面相同
- (空集)我们有
- (单调性)如果
,那么
- (可数次可加性)如果
,那么
- (空集)我们有
- (Lebesgue外测度是体积的推广)设
为闭的AABB,那么它的Lebesgue外测度等于它的体积。注意,AABB –> 沿坐标轴对齐,立方体 –> 不一定沿坐标轴对齐;对于后者,我们需要考虑AABB的仿射变换
- 一方面,用一个体积更大的、开的AABB来覆盖
,使得
,可得
- 另一方面,由实数的完备性可知,
为紧的。因此,对于
的任意一个开的AABB覆盖
,存在一个有限覆盖
。将
分解为有限个子AABB,使得它们都包含在
中的某个AABB中。从而, 我们有体积不等式
取下确界,可得
- 一方面,用一个体积更大的、开的AABB来覆盖
Lebesgue测度
- 尽管Lebesgue外测度的确是体积的一种推广,然而它只有次可加性,我们希望得到可加性。一种方法是只考虑满足可加性的集合
,
、
,它们的Lebesgue外测度可以相加
- 满足Carathéodory判别准则的集合,称为Lebesgue可测集,它们构成一个子族
的次可加性,我们只需检验
,那么
。因此,
满足Carathéodory判别准则,
- (空集)
,所以
- (超平面)沿坐标轴对齐的超平面
可以用总体积任意小的、开的AABB来覆盖,
,所以
- (半空间)沿坐标轴对齐的超平面
将
划分为两个开的半空间
。对于
的任意一个开的AABB覆盖,我们可以沿着
将其划分为两个开的AABB覆盖,分别覆盖
满足Carathéodory判别准则,
- (空集)
- 对于Lebesgue可测集,Lebesgue外测度
提升为Lebesgue测度
,它满足可加性。为此,我们还需要先说明相应的集合为Lebesgue可测集
- (补集)如果
,那么
- (有限并)如果
、
,那么利用Carathéodory判别准则,
、
,故
。利用数学归纳法,可得有限并。进一步,利用补集、有限并,可得有限交
- (有限可加性)如果
、
,并且二者不相交,那么
- (可数并)对于
,不妨设它们两两不相交。否则,我们可以考虑并集相同的、两两不相交的集合
,可得
。进一步,利用补集、可数并,可得可数交
- (可数可加性)利用有限可加性,
,可得
- (补集)如果
- 有了补集、可数并,我们可以得到更多的Lebesgue可测集
- 半空间 –> (有限交) –> 开的AABB –> (可数并) –> 开集 –> (补集、可数并) –> Borel集
- 一个Lebesgue可测集,用一列开的AABB覆盖来趋近它的Lebesgue测度。如果取这一列开覆盖的可数交,那么可以得到一个Borel集,它和Lebesgue可测集只相差一个零测集
- 仿射变换为同胚,它将Borel集变为Borel集;由下面的计算可知,它将零测集变为零测集。因此,仿射变换将Lebesgue可测集变为Lebesgue可测集(仿射变换也可以减弱为Jacobi矩阵有界的
微分同胚)
- 有了可数可加性,我们可以计算更多的Lebesgue测度
- 设
为开的AABB,它的边界
包含在有限个超平面中,所以为零测集。因此,
和部分边界的并集,它的Lebesgue测度也等于它的体积
- 由计算机图形学的几何变换可知,仿射变换可以由平移、伸缩、切变、镜面反射生成。设
为开的AABB
- 如果
为平移、伸缩、镜面反射,那么
也为AABB,并且
- 如果
为切变,那么
在切变的两个维度上,由AABB变为平行四边形。在平面几何中,我们可以利用面积割补法,证明平行四边形的面积等于AABB的面积,这本质上是Lebesgue测度的可加性。因此,我们有
- 如果
- 对于一般的Lebesgue可测集
、一般的仿射变换
,我们也有
等于
的可逆的线性变换部分。因为仿射变换可以由平移、伸缩、切变、镜面反射生成,所以我们只需考虑
为四种情形之一
- 如果
为
的开的AABB覆盖,那么
为
的开覆盖。因此,
取下确界,可得
- 对于相反方向的不等式,我们使用逆变换
- 如果
- 设