Lagrange力学

Newton方程

质点的Newton方程为
$ma = F(r, v, t),\; v = \frac{dr}{dt},\; a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2r}{dt^2},$
其中
- $m$ 为质量， $F$ 为力， $r$ 、 $v$ 、 $a$ 分别为位置向量、速度、加速度
- 如果 $F$ 已知，那么由ODE的结果可知，给定初值
  $r(t_0) = r_0,\; v(t_0) = v_0,$
  Newton方程存在唯一解 $r(t)$
守恒定律
- 保守力场的能量守恒定律
  - 保守力场满足
    $F = -\nabla V(r),$
    其中， $V$ 为势能
  - 动能、总能量分别为
    $T = \frac 12mv^2,\; E = T + V.$
    由Newton方程，
    $\frac{dE}{dt} = ma \cdot v + \nabla V(r) \cdot v = 0,$
    $E = const.$
- 向心保守力场的角动量守恒定律
  - 向心保守力场满足
    $F = -\nabla V(|r|) = -\frac{dV}{d|r|}\frac{r}{|r|}.$
  - 角动量为
    $L = r \times mv.$
    由Newton方程，
    $\frac{dL}{dt} = v \times mv + r \times \bigg(-\frac{dV}{d|r|}\frac{r}{|r|}\bigg) = 0,$
    $L = const.$
- 孤立系统的动量守恒定律
  - 孤立系统满足
    $F_i = \sum_{j \neq i} F_{ji},\; F_{ji} = -F_{ij}\; (j \neq i),$
    其中， $F_i$ 为作用于质点 $i$ 的力， $F_{ji}$ 为质点 $j$ 作用于质点 $i$ 的力
  - 动量为
    $P = \sum_i m_iv_i.$
    由Newton方程，
    $\frac{dP}{dt} = \sum_i\sum_{j \neq i} F_{ji} = 0,$
    $P = const.$

相对性原理

关于Galileo变换群、Poincaré变换群，可参见矩阵群
Galileo相对性原理
- 在孤立系统、向心保守力场中，Newton方程为
  $m_i\frac{d^2r_i}{dt^2} = -\sum_{j \neq i} \nabla_i V(\ldots, |r_i - r_j|, \ldots) = -\sum_{j \neq i} \frac{\partial V}{\partial|r_i - r_j|}\frac{r_i - r_j}{|r_i - r_j|}.$
- 如下的Galileo变换将解变为解，
  $\begin{bmatrix}R & v \\ 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}r \\ t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}r_0 \\ t_0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r' \\ t'\end{bmatrix},\; R \in O(3),\; v \in \mathbb{R}^3.$
  Galileo变换群为 $\mathbb{R}^4 \rtimes [\mathbb{R}^3 \rtimes O(3)]$ ，其中，可逆的线性变换部分为Euclid群 $\mathbb{R}^3 \rtimes O(3)$
狭义相对性原理
- 在Minkowski时空中，光速不变的方程为
  $dr^2 - c^2dt^2 = 0.$
- 如下的Poincaré变换将解变为解，
  $A \cdot \begin{bmatrix}r \\ ct\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}r_0 \\ ct_0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r' \\ ct'\end{bmatrix},\; A \in O(3, 1).$
  Poincaré变换群为 $\mathbb{R}^4 \rtimes O(3, 1)$ ，其中，可逆的线性变换部分为Lorentz群 $O(3, 1)$

最小作用量原理

在保守力场中，作用量为
$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} (T - V)dt = \int_{t_1}^{t_2} \bigg[\frac 12mv^2 - V(r)\bigg]dt.$
泛函 $\mathcal{S}$ 的变分为
$\begin{equation*}\begin{split} \delta\mathcal{S} &= \int_{t_1}^{t_2} \bigg[mv \cdot \delta v - \nabla V(r) \cdot \delta r\bigg]dt \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \bigg[mv \cdot \frac{d\delta r}{dt} + F \cdot \delta r\bigg]dt \\ &= mv \cdot \delta r\bigg|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} (-ma + F) \cdot \delta rdt. \end{split}\end{equation*}$
因此，当端点固定时，泛函 $\mathcal{S}$ 在Newton方程的解上达到临界值
一般地，作用量为
$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t)dt,$
其中， $\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)$ 为在广义坐标 $q = (q^1, \ldots, q^n)$ 、广义速度 $\dot{q} = (\dot{q}^1, \ldots, \dot{q}^n)$ 下的Lagrangian。泛函 $\mathcal{S}$ 的变分为
$\begin{equation*}\begin{split} \delta\mathcal{S} &= \int_{t_1}^{t_2} \bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}} \cdot \delta \dot{q} + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} \cdot \delta q\bigg]dt \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}} \cdot \frac{d\delta q}{dt} + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} \cdot \delta q\bigg]dt \\ &= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}} \cdot \delta q \bigg|_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \bigg[-\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}} + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\bigg] \cdot \delta qdt. \end{split}\end{equation*}$
因此，当端点固定时，泛函 $\mathcal{S}$ 在如下的Euler-Lagrange方程的解上达到临界值，
$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} = 0.$