从链复形到同调群

拓扑空间、链复形、同调群

由奇异同调群的定义可知，对于拓扑空间的奇异同调群，其建立过程为
$X \mapsto C_*(X) \mapsto H_*(X)$
然而， $X$ 的定义域为全体拓扑空间， $C_*(X)$ 的定义域为全体链复形， $H_*(X)$ 的定义域为全体Abel群。类似于Lebesgue测度中的Russell的类型论，全体集合（高阶类型）不再是一个集合（低阶类型）；同样地，全体拓扑空间、链复形、Abel群也不再是一个集合
因此，上面的建立过程不是集合之间的映射，而是范畴之间的函子
- 拓扑空间、链复形、Abel群，它们称为对象
- 连续映射、链映射、Abel群的同态，它们称为态射
- 函子既作用于对象，也作用于态射。比如，拓扑空间的奇异链复形函子为
  $Top \to Comp,\; X \mapsto C_*(X),\; f \mapsto f_*.$
  链复形的同调函子为
  $Comp \to Ab,\; C_* \mapsto H_*,\; f \mapsto f_*.$
  这里， $Top$ 为拓扑空间范畴、 $Comp$ 为链复形范畴、 $Ab$ 为Abel群范畴

一般的链复形

链复形范畴、上链复形范畴互为反范畴，链复形的指标不断下降，上链复形的指标不断上升。下面，我们只考虑链复形范畴
一般的链复形为Abel群、Abel群的同态形成的序列
$\xymatrix@C=1.4em{ \cdots \ar[r] & A_n \ar[r]^-{\partial_n} & A_{n - 1} \ar[r] & \cdots }$
满足
- $ker\partial$ 中的元素称为闭链， $im\partial$ 中的元素称为边缘链。因为链复形满足 $\partial\partial = 0$ ，所以
  $im\partial_{n + 1} \subset ker\partial_n \subset A_n.$
- 链复形 $A_*$ 的同调群为
  $H_n = ker\partial_n / im\partial_{n + 1}.$
一般的链映射为
$\xymatrix@C=1.4em{ \cdots \ar[r] & A_n \ar[r]^-{\partial_n} \ar[d]^-{f_n} & A_{n - 1} \ar[r] \ar[d]^-{f_{n - 1}} & \cdots \\ \cdots \ar[r] & A_n' \ar[r]^-{\partial_n'} & A_{n - 1}' \ar[r] & \cdots }$
满足
- 链映射将闭链映射到闭链，将边缘链映射到边缘链，
  $\partial_na_n = 0 \Rightarrow \partial_n'f_na_n = f_{n - 1}\partial_na_n = 0,$
  $a_{n - 1} = \partial_na_n \Rightarrow f_{n - 1}a_{n - 1} = f_{n - 1}\partial_na_n = \partial_n'f_na_n.$
- 链映射 $f$ 诱导的同态为
  $f_*: H_n \to H_n',\; [a_n] \mapsto [f_na_n].$
  这里，代表元素 $a_n$ 为闭链，并且边缘链 $\partial_{n +1}a_{n +1}$ 等价于0
链复形的同调函子为
$Comp \to Ab,\; A_* \to H_*,\; f \mapsto f_*.$
- 我们希望同调群为拓扑不变量，即同胚的拓扑空间，具有同构的链复形、同调群
- 为了定义同构，我们需要复合、恒等
  $g \circ f = id,\; f \circ g = id.$
  为了得到不变量，我们需要函子保持复合、恒等
  $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f),\; F(id) = id.$
- 由此可知，函子保持同构
  $F(g) \circ F(f) = id,\; F(f) \circ F(g) = id.$
  故同胚的拓扑空间，具有同构的链复形、同调群

链复形的短正合列、同调群的长正合列

正合列是直和分解的推广，它通常用于将大的空间分解为小的空间。比如
$\xymatrix@C=1.4em{ 0 \ar[r] & A \ar[r]^-{i} & A \oplus B \ar[r]^-{p} & B \ar[r] & 0 }$
其中， $i$ 为含入
$i: A \to A \oplus B,\; a \mapsto (a, 0),$
$p$ 为投影
$p: A \oplus B \to B,\; (a, b) \mapsto b.$
因此， $im0 = keri$ ， $imi = ker p$ ， $imp = ker0$ 。我们称上面的序列在中间三个Abel群上是正合的，它构成一个短正合列
拓扑空间分解为子空间，通常可以得到奇异链复形的短正合列。我们需要由链复形的短正合列，计算同调群之间的关系
- 链复形的短正合列为
  $\xymatrix@C=1.4em{ 0 \ar[r] & A_* \ar[r]^-{i} & A_*' \ar[r]^-{p} & A_*'' \ar[r] & 0 }$
  由正合的定义， $i$ 为单射、 $i$ 的像为 $p$ 的核、 $p$ 为满射。它可以展开为
  $\xymatrix@C=1.4em{ 0 \ar[r] & A_{n + 1} \ar[r]^-{i_{n + 1}} \ar[d]^-{\partial_{n + 1}} & A_{n + 1}' \ar[r]^-{p_{n + 1}} \ar[d]^-{\partial_{n + 1}'} & A_{n + 1}'' \ar[r] \ar[d]^-{\partial_{n + 1}''} & 0 \\ 0 \ar[r] & A_n \ar[r]^-{i_n} \ar[d]^-{\partial_n} & A_n' \ar[r]^-{p_n} \ar[d]^-{\partial_n'} & A_n'' \ar[r] \ar[d]^-{\partial_n''} & 0 \\ 0 \ar[r] & A_{n - 1} \ar[r]^-{i_{n - 1}} & A_{n - 1}' \ar[r]^-{p_{n - 1}} & A_{n - 1}'' \ar[r] & 0 }$
  下面，记一般的链为 $a_n$ 、闭链为 $cl_n$ 、边缘链为 $bd_n$
由于链映射诱导同调群的同态，故
$\xymatrix@C=1.4em{ H_n \ar[r]^-{i_*} & H_n' \ar[r]^-{p_*} & H_n'' }$
我们需要考察、、、
- （在 $H_n'$ 上正合）由 $pi = 0$ ，可得 $imi_* \subset kerp_*$ 。反过来，由 $[cl_n'] \in kerp_*$ 可以得到 $a_{n + 1}'$ ，
  $\xymatrix@C=1.4em{ a_{n + 1}' \ar[r] & a_{n + 1}'' \ar[d] \\ cl_n' \ar[r] & bd_n'' }$
  然后，由 $cl_n' - \partial_{n + 1}'a_{n + 1}'$ 可以得到 $a_n$ ，
  $\xymatrix@C=1.4em{ a_n \ar[r] & cl_n' - \partial_{n + 1}'a_{n + 1}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 & {} }$
  由下方的0可知， $a_n$ 为闭链，故 $[cl_n' - \partial_{n + 1}'a_{n + 1}'] \in imi_*$
- （ $keri_*$ ）由 $[cl_n] \in keri_*$ 可以得到 $a_{n + 1}''$ ，
  $\xymatrix@C=1.4em{ {} & a_{n + 1}' \ar[r] \ar[d] & a_{n + 1}'' \\ cl_n \ar[r] & bd_n' \ar[r] & 0 }$
  由下方的0可知， $a_{n + 1}''$ 为闭链。反过来，由 $cl_{n + 1}''$ 可以得到 $a_n$ ，
  $\xymatrix@C=1.4em{ {} & a_{n + 1}' \ar[r] \ar[d] & cl_{n + 1}'' \ar[d] \\ a_n \ar[r] & bd_n' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & 0 & {} }$
  由下方的0可知， $a_n$ 为闭链。因此，我们实际上定义了
  $\partial: H_{n + 1}'' \to H_n,\; [cl_{n + 1}''] \mapsto [cl_n],$
  满足 $keri_* = im\partial$
- （ $imp_*$ ）上面已经得到了同调群的正合三角
  $\xymatrix@C=1.4em{ {} & H_*' \ar[dr]^-{p_*} & {} \\ H_* \ar[ur]^-{i_*} & {} & H_*'' \ar[ll]^-{\partial} }$
  我们还剩下 $imp_* = ker\partial$ 需要证明。由 $[cl_{n + 1}''] \in imp_*$ 可以得到 $cl_n = 0$ ，从而 $[cl_{n +1}''] \in ker\partial$ ，
  $\xymatrix@C=1.4em{ {} & cl_{n + 1}' \ar[r] \ar[d] & cl_{n + 1}'' \\ 0 \ar[r] & 0 & {} }$
  反过来，由 $[cl_{n + 1}''] \in ker\partial$ 可以得到 $a_{n + 1}$ ，
  $\xymatrix@C=1.4em{ a_{n + 1} \ar[d] & a_{n + 1}' \ar[r] \ar[d] & cl_{n + 1}'' \\ bd_n \ar[r] & bd_n' & {} }$
  故 $a_{n + 1}' - i_{n + 1}a_{n + 1}$ 为闭链，并且 $p_{n +1}$ 将其映射到 $cl_{n + 1}''$ ，从而 $[cl_{n +1}''] \in imp_*$
最终，我们将同调群的正合三角展开为同调群的长正合列，
$\xymatrix@C=1.4em{ \cdots \ar[r] & H_{n + 1}' \ar[r]^-{p_*} & H_{n + 1}'' \ar[r]^-{\partial} & H_n \ar[r]^-{i_*} & H_n' \ar[r]^-{p_*} & H_n'' \ar[r] & \cdots }$
在上面的证明中，我们反复使用了有向图的箭头追踪。因此，范畴论的关键在于有向图的结构