电磁场和de Rham上同调

微分形式

关于边缘算子，可参见奇异同调群的定义。关于外微分算子，可参见de Rham上同调群的定义
Newton-Leibniz公式，1维情形
$\int_{[a, b]} f'(x)dx = f(b) - f(a).$
Newton-Leibniz公式，2维情形
$\begin{equation*}\begin{split} \int_{[c, d]}\int_{[a, b]} \partial_xf(x, y)dxdy &= \int_{[c, d]} [f(b, y) - f(a, y)]dy, \\ \int_{[a, b]}\int_{[c, d]} \partial_yg(x, y)dydx &= \int_{[a, b]} [g(x, d) - g(x, c)]dx. \end{split}\end{equation*}$
令 $\Omega = [a, b] \times [c, d]$ ，其边界 $\partial\Omega$ 为
$\xymatrix@C=1.4em{ (a, d) \ar[d]_{\Gamma_4} & (b, d) \ar[l]_{\Gamma_3} \\ (a, c) \ar[r]_{\Gamma_1} & (b, c) \ar[u]_{\Gamma_2} }$
因此，
$\begin{equation*}\begin{split} \int_{[c, d]}\int_{[a, b]} \partial_xf(x, y)dxdy &= \int_{\Gamma_2} fdy + \int_{\Gamma_4} fdy, \\ \int_{[a, b]}\int_{[c, d]} \partial_yg(x, y)dydx &= -\int_{\Gamma_1} gdx - \int_{\Gamma_3} gdx. \end{split}\end{equation*}$
在 $\Gamma_1$ 、 $\Gamma_3$ 上， $dy = 0$ ，在 $\Gamma_2$ 、 $\Gamma_4$ 上， $dx = 0$ ，所以
$\int_\Omega (\partial_xf - \partial_yg)dxdy = \int_{\partial\Omega} fdy + gdx.$
我们将1维情形改写为
$\int_{[a, b]} df = \int_{\partial[a, b]}f.$
如果令 $\omega = fdy + gdx$ ，那么2维情形具有相同的形式
$\int_\Omega d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega.$
这是一个配对，并且算子 $d$ 、 $\partial$ 是伴随的，
$\langle{d\omega, \Omega}\rangle = \langle{\omega, \partial\Omega}\rangle.$
现在我们讨论，它应该类似于微分
- 因为 $\partial\Omega$ 为 $\Omega$ 的边界，所以 $\partial$ 称为边缘算子。注意， $\partial\Omega$ 为闭曲线，其边界为0，即 $\partial\partial = 0$ 。利用伴随性，可得 $dd = 0$ ，
  $\langle{dd\omega, \Omega}\rangle = \langle{d\omega, \partial\Omega}\rangle = \langle{\omega, \partial\partial\Omega}\rangle = 0.$
- 令 $d$ 为线性算子，
  $d\omega = d(fdy) + d(gdx).$
  令 $d$ 满足Leibniz法则（即乘法的微分公式），
  $\begin{equation*}\begin{split} d\omega &= (dfdy + dfddy) + (dgdx + gddx) \\ &= (\partial_xfdx + \partial_yfdy)dy + (\partial_xgdx + \partial_ygdy)dx. \end{split}\end{equation*}$
  令乘法为反对称的，记为 $\wedge$ ，
  $dx \wedge dy = -dy \wedge dx,\; dx \wedge dx = 0,\; dy \wedge dy = 0.$
  最终，我们可以得到
  $d\omega = (\partial_xf - \partial_yg)dx \wedge dy.$
- 类似于计算机图形学的重心坐标，对于3维向量、,，我们有
  $\begin{equation*}\begin{split} u \wedge v &= (u_yv_z - u_zv_y)dy \wedge dz + (u_zv_x - u_xv_z)dz \wedge dx \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (u_xv_y - u_yv_x)dx \wedge dy. \end{split}\end{equation*}$
  因此，和相同
  - 因为 $u \times v$ 叫做外积，所以 $u \wedge v$ 也叫做外积
  - 因为 $u \times v$ 为反对称、线性的，它对应于行列式，所以 $u \wedge v$ 也一样
- 进一步， $d$ 称为外微分算子， $\omega$ 、 $d\omega$ 称为外形式（可以建立在一般的域上），或者微分形式（可以建立在实数域、复数域上）

微分形式和电磁场

关于 $dd = 0$ 、Stokes定理，可参见de Rham上同调群的定义
上的外微分
- 0-形式的外微分对应于梯度（ $\nabla$ ）
  $\omega = f,\; d\omega = \partial_xfdx + \partial_yfdy + \partial_zfdz.$
- 1-形式的外微分对应于旋度（curl）
  $\omega = \omega_xdx + \omega_ydy + \omega_zdz,$
  $\begin{equation*}\begin{split} d\omega &= (\partial_y\omega_xdy + \partial_z\omega_xdz) \wedge dx + (\partial_x\omega_ydx + \partial_z\omega_ydz) \wedge dy \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (\partial_x\omega_zdx + \partial_y\omega_zdy) \wedge dz \\ &= (\partial_y\omega_z - \partial_z\omega_y)dy \wedge dz + (\partial_z\omega_x - \partial_x\omega_z)dz \wedge dx \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (\partial_x\omega_y - \partial_y\omega_x)dx \wedge dy. \end{split}\end{equation*}$
- 2-形式的外微分对应于散度（div）
  $\omega = \omega_xdy \wedge dz + \omega_ydz \wedge dx + \omega_zdx \wedge dy,$
  $\begin{equation*}\begin{split} d\omega &= (\partial_x\omega_xdx) \wedge dy \wedge dz + (\partial_y\omega_ydy) \wedge dz \wedge dx \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (\partial_z\omega_zdz) \wedge dx \wedge dy \\ &= (\partial_x\omega_x + \partial_y\omega_y + \partial_z\omega_z)dx \wedge dy \wedge dz. \end{split}\end{equation}$
流形上的
$dd\omega = 0.$
- 0-形式的 $dd = 0$ 对应于梯度（ $\nabla$ ）、旋度（curl）
  $curl\nabla f = 0.$
- 1-形式的 $dd = 0$ 对应于旋度（curl）、散度（div）
  $div\,curlX = 0.$
- 在Maxwell方程组中，静电场的旋度（curl）使用了0-形式的 $dd = 0$ ，静磁场的散度（div）、电生磁使用了1-形式的 $dd = 0$
流形上的Stokes定理
$\int_{\partial\Omega} \omega = \int_\Omega d\omega.$
- 如果 $\omega$ 为1-形式，那么我们可以得到旋度（curl）的Stokes公式
  $\int_{\partial\Omega} X \cdot dl = \int_\Omega curlX \cdot dS.$
- 如果 $\omega$ 为2-形式，那么我们可以得到散度（div）的Gauss公式
  $\int_{\partial\Omega} X \cdot dS = \int_\Omega divXdV.$
- 在Maxwell方程组中，Faraday定律使用了旋度（curl）的Stokes公式，电荷守恒定律使用了散度（div）的Gauss公式

de Rham上同调和电势、磁势

关于de Rham上同调群，可参见de Rham上同调群的定义
电势、磁势的存在性
- （电势）如果 $curlX = 0$ ，那么我们希望找到 $f$ ，使得
  $\nabla f = X.$
  也就是说，如果 $d\omega = 0$ ，那么我们希望找到 $\eta$ ，使得
  $d\eta = \omega.$
  因此，电势的存在性，等价于1维上闭链为1维上边缘链
- （磁势）如果 $divX = 0$ ，那么我们希望找到 $Y$ ，使得
  $curlY = X.$
  也就是说，如果 $d\omega = 0$ ，那么我们希望找到 $\eta$ ，使得
  $d\eta = \omega.$
  因此，磁势的存在性，等价于2维上闭链为2维上边缘链
- 但是上闭链不一定是上边缘链，de Rham上同调群反映了从上闭链到上边缘链的障碍，
  $H_{dR}^n(M) = kerd_n/imd_{n - 1}.$
  因此，电势、磁势的存在性，分别需要1维、2维de Rham上同调群为0
由de Rham定理，
$H_{dR}^k(M) \cong H^k(M; \mathbb{R}).$
因此，电势、磁势的存在性，分别需要所在空间的1维、2维奇异上同调群为0。这一结论的意义在于，空间中的势场的存在性，可以由空间本身的拓扑确定
- 在天线理论的电磁波中，求解射频的电磁波使用了电势、磁势的存在性。如果所在空间为3维空间，即 $M = \mathbb{R}^3$ ，那么它可以形变收缩至一点。此时，所在空间的拓扑是平凡的，1维、2维奇异上同调群为0，所以电势、磁势存在
- 如果所在空间为3维空间去掉一个点，即 $M = \mathbb{R}^3 - \{ 0 \}$ ，那么它可以形变收缩至 $S^2$ 。利用 $S^2$ 的2维奇异同调群和Poincaré对偶（？），
  $\mathbb{R} \cong H_2(M; \mathbb{R}) \cong H^1(M; \mathbb{R}).$
  因此，电势可能不存在，但是磁势总是存在
- 如果所在空间为3维空间去掉一条直线，即 $M = \mathbb{R}^3 - (\{ 0 \} \times \mathbb{R})$ ，那么它可以形变收缩至 $S^1 \times \mathbb{R}$ 。利用 $S^1 \times \mathbb{R}$ 的1维奇异同调群和Poincaré对偶（？），
  $\mathbb{R} \cong H_1(M; \mathbb{R}) \cong H^2(M; \mathbb{R}).$
  因此，磁势可能不存在，但是电势总是存在
在de Rham上同调和Dolbeault上同调中，我们使用层的上同调，得到de Rham定理