复数域上的分析

参考资料：复变函数简明教程

Cauchy-Riemann方程

关于实数域上的分析，以及流形，可参见从切空间到局部、从局部到整体
复数域和实数域类似，可以进行加法、减法、乘法、除法。我们从差分开始
$\begin{equation*}\begin{split} \frac{\Delta f}{\Delta z} &= \frac{\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y} \\ &= \frac{(\Delta u + i\Delta v)(\Delta x - i\Delta y)}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \\ &= \frac{\Delta u\Delta x + \Delta v\Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} + i\frac{-\Delta u\Delta y + \Delta v\Delta x}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}. \end{split}\end{equation*}$
如果 $f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta z}$ 存在，那么
$\begin{equation*}\begin{split} f'(z) &= \lim_{\Delta x \to 0,\; \Delta y = 0} \bigg(\frac{\Delta u}{\Delta x} + i\frac{\Delta v}{\Delta x}\bigg) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}, \\ f'(z) &= \lim_{\Delta x = 0,\; \Delta y \to 0} \bigg(\frac{\Delta v}{\Delta y} + i\frac{-\Delta u}{\Delta y}\bigg) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}. \end{split}\end{equation*}$
因此，我们可以得到Cauchy-Riemann方程
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\; \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$
反过来，如果Cauchy-Riemann方程成立，那么
$\begin{equation*}\begin{split} \Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y &= \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial v}{\partial x}\Delta y, \\ \Delta v \approx \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y &= \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial x}\Delta y. \end{split}\end{equation*}$
取极限，可得 $f'(z)$ 存在
$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta z} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}.$
因此， $f(z)$ 存在导数，等价于Cauchy-Riemann方程成立，并且复数域和实数域的求导法则（比如四则运算、复合函数、反函数）是相同的

Cauchy积分定理、Cauchy积分公式

复数域和实数域类似，可以得到流形。上面， $f(z)$ 是可微的；在PDE的解的正则性中， $f(z)$ 的正则性可以提升到光滑，所以我们可以考虑复流形上的分析
我们有切向量、余切向量
- （余切向量）由 $z = x + iy$ ， $\overline{z} = x - iy$ ，可得
  $dz = dx + idy,\; d\overline{z} = dx - idy.$
- （切向量）取对偶基底，可得
  $\frac{\partial}{\partial z} = \frac 12\bigg(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\bigg),\; \frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac 12\bigg(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\bigg).$
- Cauchy-Riemann方程等价于如下的形式
  $\frac{\partial f}{\partial\overline{z}} = 0.$
  也就是说， $f$ 与 $\overline{z}$ 无关，纯粹是 $z$ 的函数，所以称为全纯函数（Holomorphic Function）。非全纯函数是普遍存在的，比如
  $f(z, \overline{z}) = |z|^2 = z\overline{z}$
  不是全纯函数，它与 $\overline{z}$ 有关，不满足Cauchy-Riemann方程
进一步，我们有微分形式、微分算子
- （微分形式）面积元素的复数形式
  $dz \wedge d\overline{z} = (dx + idy) \wedge (dx - idy) = -2idx \wedge dy.$
- （微分算子）Laplace算子的复数形式
  $\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac 14\bigg(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\bigg)\bigg(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\bigg) = \frac 14\Delta.$
对于全纯函数，Cauchy积分定理源于微分形式，Cauchy积分公式源于微分算子、基本解。在使用Fourier变换求解PDE中，我们可以得到Laplace算子在上的基本解；在这里，我们可以得到Laplace算子在上的基本解
- （Cauchy积分定理）由Stokes定理，令 $\omega = f(z)dz$ ，
  $\int_{\partial\Omega} f(z)dz = \int_{\partial\Omega} \omega = \int_\Omega d\omega = \int_\Omega \frac{\partial f}{\partial\overline{z}}d\overline{z} \wedge dz = 0.$
- （基本解）类似于天线理论的电磁波，令 $\Gamma = \Gamma(r)$ ，那么
  $0 = \Delta\Gamma = \frac{d^2\Gamma}{dr^2} + \frac 1r\frac{d\Gamma}{dr},\; r \neq 0.$
  因此，我们可以得到非常数的基本解
  $\frac{d\Gamma}{dr} = C\frac 1r,\; \Gamma = C\ln r.$
- （Cauchy积分公式）注意， $f = \delta * f$ ， $\Delta\Gamma = \delta$ 。由Stokes定理，
  $\begin{equation*}\begin{split} f(w) &= \int_{B_\epsilon(w)} \Delta\Gamma(w - z, \overline{w} - \overline{z}) \cdot f(z)dx \wedge dy \\ &= \int_{B_\epsilon(w)} -4\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\bigg[\frac{\partial}{\partial z}\Gamma(w - z, \overline{w} - \overline{z}) \cdot f(z)\bigg] \cdot \frac i2dz \wedge d\overline{z} \\ &= 2i\int_{\partial B_\epsilon(w)} \frac{\partial}{\partial z}\Gamma(w - z, \overline{w} - \overline{z}) \cdot f(z)dz. \end{split}\end{equation*}$
  同时，由 $\Gamma = \frac C2\ln(z\overline{z})$ ，我们可以得到Cauchy核
  $\frac{\partial \Gamma}{\partial z} = \frac C2\frac{1}{z\overline{z}} \cdot \overline{z} = \frac C2\frac 1z.$
  因此，Cauchy核与 $f$ （在边界上）卷积之后为 $f$ 本身
  $f(w) = -iC\int_{\partial B_\epsilon(w)} \frac{f(z)}{z - w}dz.$
- 作为Cauchy积分公式的特殊情形，令 $f = 1$ ， $z - w = \epsilon e^{i\theta}$ 。那么，
  $1 = -iC\int_0^{2\pi} \frac{1}{\epsilon e^{i\theta}} \cdot \epsilon e^{i\theta}id\theta = 2\pi C \Rightarrow C = \frac{1}{2\pi}.$
  因此，基本解为 $\Gamma = \frac{1}{2\pi}\ln r$ ，Cauchy积分公式为
  $f(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_\epsilon(w)} \frac{f(z)}{z - w}dz.$
Cauchy积分定理 –> 没有奇点的情形，Cauchy积分公式 –> 有奇点的情形。在Maxwell方程组中，点电荷、点磁荷可以用 $\delta$ 来刻画；在这里，奇点可以用 $\delta$ 来刻画

全纯同胚、分歧覆盖映射

（解析函数）复数域和实数域的第一个不同点，在于全纯函数一定为解析函数
- Cauchy积分公式有一个奇点 $w$ 。不过，它不在 $\Omega - B_\epsilon(w)$ 中，所以我们可以使用Cauchy积分定理，
  $0 = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial(\Omega - B_\epsilon(w))} \frac{f(z)}{z - w}dz = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \frac{f(z)}{z - w}dz - f(w).$
- 对任意 $w_0 \in \Omega$ ，我们有
  $\begin{equation*}\begin{split} f(w) &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \frac{1}{z - w_0}\frac{f(z)}{1 - \frac{w - w_0}{z - w_0}}dz \\ &= \sum_{n = 0}^\infty \bigg[\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \frac{f(z)}{(z - w_0)^{n + 1}}dz\bigg] \cdot (w - w_0)^n. \end{split}\end{equation*}$
  因此， $f$ 在 $w_0$ 附近是解析的
（开映射定理）复数域和实数域的第二个不同点，在于非常数的全纯函数一定为开映射。关键在于，全纯函数的退化情形类似于次函数，这是实数域不具备的良好性质
- （全纯同胚，非退化情形）当时，将视为上的映射
  $(x, y) \mapsto (u, v).$
  - 由Cauchy-Riemann方程，Jacobi矩阵的行列式为
    $\det\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix} = \bigg(\frac{\partial u}{\partial x}\bigg)^2 + \bigg(\frac{\partial v}{\partial x}\bigg)^2 = |f'(z_0)|^2 \neq 0.$
  - 在 $z_0$ 附近，由从切空间到局部中的逆映射定理， $f$ 将开集映射到开集，故 $f$ 为开映射；由反函数的求导法则， $f^{-1}$ 为全纯映射，故 $f$ 为全纯同胚
- （分歧覆盖映射，退化情形）当时，类似于次函数
  - 考虑次函数
    $P_n(z) = z^n,\; n \geq 2.$
    - 在 $z_0 \neq 0$ 附近，它可以使用逆映射定理，所以是开映射，并且它的逆——开 $n$ 次方根函数为全纯函数。在 $z_0 = 0$ 附近，它将模长 $r$ 变为 $r^n$ ，将幅角 $\theta$ 变为 $n\theta$ ，所以也是开映射
    - 在 $z_0 \neq 0$ 上，它将 $n$ 个不同点映射到一个点，所以是 $n$ 重覆盖映射。在 $z_0 = 0$ 上，它将 $0$ 单独映射到 $0$ ，所以 $0$ 是一个分歧点。因此， $P_n$ 称为分歧覆盖映射，分歧点 $0$ 的重数为 $n$
  - 取一个平移，使得 $f(z_0) = 0$ 。由于 $f$ 为非常数的解析函数，故存在解析函数 $g$ ，使得 $g(z_0) \neq 0$ ，并且
    $f(z) = (z - z_0)^ng(z),\; n \geq 2.$
  - 令 $h$ 为 $g$ 的开 $n$ 次方根， $h(z_0) \neq 0$ 。那么， $f$ 为一个全纯同胚，复合一个 $n$ 次函数，
    $f: z \mapsto (z - z_0)h(z) \mapsto [(z - z_0)h(z)]^n.$
    在 $z_0$ 附近， $f$ 为开映射，并且 $f$ 为分歧覆盖映射，分歧点 $z_0$ 的重数为 $n$