天线理论的电磁波

单位制

关于Maxwell方程组，可参见Maxwell方程组
在Gauss单位制下，Maxwell方程组为
$\begin{equation*}\begin{split} curlE(r, t) &= -\frac 1c\frac{\partial H(r, t)}{\partial t}, \\ curlH(r, t) &= \frac 1c\frac{\partial E(r, t)}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}j(r, t), \\ divE(r, t) &= 4\pi\rho(r, t), \\ divH(r, t) &= 0. \end{split}\end{equation*}$
在国际单位制下，Maxwell方程组为
$\begin{equation*}\begin{split} curlE(r, t) &= -\frac{\partial B(r, t)}{\partial t}, \\ curlH(r, t) &= \frac{\partial D(r, t)}{\partial t} + j(r, t), \\ divD(r, t) &= \rho(r, t), \\ divB(r, t) &= 0. \end{split}\end{equation*}$
其中，
$D = \epsilon E,\; B = \mu H,$
并且 $\epsilon = \frac{1}{4\pi c^2} \times 10^7F/m$ 、 $\mu = 4\pi \times 10^{-7}H/m$ 分别为电、磁常数
从Gauss单位制转换到国际单位制，可以使用如下变换
$\rho \mapsto \frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon}}\rho,\; j \mapsto \frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon}}j,\; E \mapsto \sqrt{4\pi\epsilon}E,\; H \mapsto \sqrt{4\pi\mu}H.$
注意， $\rho$ 、 $j$ 并不是独立的，它们需要满足电荷守恒定律
$\frac{\partial\rho(r, t)}{\partial t} + divj(r, t) = 0.$

射频的电磁波

在天线理论中，我们考虑射频。因为射频的带宽很窄，所以我们假设只有单一频率
$E(r, t) = Re(E(r)e^{j\omega t}),\; H(r, t) = Re(H(r)e^{j\omega t}).$
从而，
$\begin{equation*}\begin{split} curlE(r) &= -j\omega\mu H(r), \\ curlH(r) &= j\omega\epsilon E(r) + J(r), \\ divE(r) &= \frac{\rho(r)}{\epsilon}, \\ divH(r) &= 0. \end{split}\end{equation*}$
由于 $divH(r) = 0$ ，故存在磁势 $A(r)$ 满足
$curlA(r) = \mu H(r).$
由于 $curl[E(r) + j\omega A(r)] = 0$ ，故存在电势 $\Phi(r)$ 满足
$E(r) + j\omega A(r) = -\nabla\Phi(r).$
接下来只需求解 $A(r)$ 、 $\Phi(r)$ 。我们剩下 $curlH(r) = j\omega\epsilon E(r) + J(r)$ 可以使用，其中
$\begin{equation*}\begin{split} curlH(r) &= \frac 1\mu curl\,curlA(r) \\ &= \frac 1\mu\nabla divA(r) - \frac 1\mu\Delta A(r), \\ j\omega\epsilon E(r) + J(r) &= j\omega\epsilon[-j\omega A(r) - \nabla\Phi(r)] + J(r) \\ &= \omega^2\epsilon A(r) - j\omega\epsilon\nabla\Phi(r) + J(r). \end{split}\end{equation*}$
因此，
$\Delta A(r) + \omega^2\epsilon\mu A(r) - \nabla(j\omega\epsilon\mu\Phi(r) + divA(r)) + \mu J(r) = 0.$
如下的规范变换将解变为解，
$A(r) \mapsto A(r) + \nabla\chi(r),\; \Phi(r) \mapsto \Phi(r) - \chi(r),$
其中 $\chi(r)$ 为任意函数。我们取Lorentz规范
$j\omega\epsilon\mu\Phi(r) + divA(r) = 0,$
从而，
$\Delta A(r) + \omega^2\epsilon\mu A(r) + \mu J(r) = 0.$

求解非齐次Helmholtz方程

关于齐次Helmholtz方程，可参见量子化的物质波
在Lorentz规范下，由 $A(r)$ 可以得到 $\Phi(r)$ ，故我们只需求解 $A(r)$ 即可。 $A(r)$ 满足非齐次Helmholtz方程
$\Delta A(r) + \omega^2\epsilon\mu A(r) = -\mu J(r).$
由使用Fourier变换求解PDE可知，我们可以先得到基本解
$\Delta\Gamma(r) + \omega^2\epsilon\mu\Gamma(r) = \delta(r),$
然后再使用卷积即可
利用Fourier变换，
$(-4\pi^2|\xi|^2 + \beta^2)\widehat{\Gamma}(\xi) = 1,$
其中， $\beta = \omega\sqrt{\epsilon\mu} = \omega/c$ 。那么
$\Gamma = \bigg(\frac{1}{-4\pi^2|\xi|^2 + \beta^2}\bigg)^{\vee}.$
这里的Fourier逆变换，不像使用Fourier变换求解PDE中求Laplace算子的基本解那样，可以利用伸缩性；不过，我们可以利用旋转性。令 $\Gamma = \Gamma(|r|)$ ，那么
$0 = \Delta\Gamma + \beta^2\Gamma = \frac{d^2\Gamma}{d|r|^2} + \frac{2}{|r|}\frac{d\Gamma}{d|r|} + \beta^2\Gamma,\; r \neq 0,$
$(|r|\Gamma)'' + \beta^2(|r|\Gamma) = 0.$
因此，我们可以得到两个线性无关的基本解
$\frac{e^{-j\beta|r|}}{-4\pi|r|},\; \frac{e^{j\beta|r|}}{-4\pi|r|}.$
这里，出现常数 $-4\pi$ 的原因是，当 $\beta = 0$ 时，上述解应该等于Laplace算子在 $\mathbb{R}^3$ 上的基本解 $\frac{1}{-4\pi|r|}$
在天线理论中，我们考虑电磁波向外传播。按照量子化的物质波中传播方向的分析方法，我们取指数函数中符号为负的基本解。最终，使用卷积可得
$A(r) = \int \frac{e^{-j\beta|r - r'|}}{4\pi|r - r'|}\mu J(r')dV'.$