佚名

频率响应和采样率

参考资料：信号与系统

时频分析

  • 关于Fourier级数，可参见Fourier级数的收敛性。关于Fourier变换，可参见Fourier变换的反演公式
  • \mathbb{R}上的Fourier变换、Fourier逆变换为

        \begin{equation*}\begin{split} \widehat{x}(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi f t}dt, \\ x(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{x}(f)e^{j2\pi ft}df. \end{split}\end{equation*}

    这里，f为频率，单位为Hz，即s^{-1}
  • 在时频分析中，我们通常使用角频率\omega = 2\pi f，单位为rad \cdot s^{-1}。此时，\mathbb{R}上的Fourier变换、Fourier逆变换为

        \begin{equation*}\begin{split} X(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt, \\ x(t) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)e^{j\omega t}d\omega. \end{split}\end{equation*}

    对于z_1(t) = (x * y)(t)、z_2(t) = x(t)y(t)，我们有

        \[ Z_1(\omega) = X(\omega)Y(\omega),\; Z_2(\omega) = \frac{1}{2\pi}(X * Y)(\omega). \]

  • 之所以称为时频分析，是因为

        \[ Ae^{j\omega_0t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - \omega_0)Ae^{j\omega t}d\omega = [2\pi A\delta(\omega - \omega_0)]^{\vee}. \]

    因此，

        \[ (Ae^{j\omega_0t})^{\wedge} = 2\pi A\delta(\omega - \omega_0), \]

        \[ [A\cos(\omega_0t)]^{\wedge} = \frac A2(e^{j\omega_0t} + e^{-j\omega_0t})^{\wedge} = \pi A[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]. \]

    也就是说，指数信号、三角函数信号是时间上的信号，通过Fourier变换，我们可以提取出特定角频率\omega_0的振幅A。因此，X(\omega)称为频谱，关于时域t、频域\omega的分析称为时频分析
  • \mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}上的Fourier级数为

        \begin{equation*}\begin{split} x(t) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \widehat{x}(n)e^{j2\pi nt}, \\ \widehat{x}(n) &= \int_\mathbb{T} x(t)e^{-j2\pi nt}dt. \end{split}\end{equation*}

    \mathbb{T}中的点为等价类，其中相差一个整数的点是等价的，所以\mathbb{T}上的函数可以看成周期为1的函数
  • 令t = f_0s，T = \frac{1}{f_0}，我们可以得到周期为T的Fourier级数

        \begin{equation*}\begin{split} x(f_0s) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \widehat{x}(n)e^{j2\pi nf_0s}, \\ \widehat{x}(n) &= \frac 1T\int_0^T x(f_0s)e^{-j2\pi nf_0s}ds. \end{split}\end{equation*}

    取角频率\omega_0 = 2\pi f_0，并且将x(f_0s)重命名为x(s)，可得

        \begin{equation*}\begin{split} x(s) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_ne^{jn\omega_0s}, \\ a_n &= \frac 1T\int_0^T x(s)e^{-jn\omega_0s}ds. \end{split}\end{equation*}

频率响应

  • 系统是一个算子，它可以将输入信号x(t)变为输出信号y(t)，

        \[ F: x(t) \mapsto y(t). \]

  • 如果F为时不变的，那么

        \[ \delta(t) \mapsto h(t),\; \delta(t - \tau) \mapsto h(t - \tau). \]

    其中，h(t)为脉冲信号\delta(t)的系统响应
  • 进一步，如果F为线性的，那么

        \[ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t - \tau)d\tau \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau = y(t). \]

    即y(t) = (x * h)(t)。利用Fourier变换，Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)。也就是说，系统实际上是在信号的频谱X(\omega)上乘以频率响应H(\omega)
  • 我们可以将H(\omega)作为滤波器，改变频谱的形状。比如对于音频系统，我们可以
    • 用一个带有二值开关的滤波器来决定是否削减低频
    • 用一个带有连续开关的滤波器来调节中高频的增益
    • 用一个前级放大器中的固定滤波器来补偿扬声器的频响特性

采样定理

  • 我们用周期脉冲信号来采样，

        \[ p(t) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta(t - nT) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_ne^{jn\omega_st}, \]

    其中，T称为采样周期，f_s = \frac 1T称为采样率，对应的角频率为\omega_s = 2\pi f_s = \frac{2\pi}{T}
  • 令y(t) = x(t)p(t)。利用Fourier变换，

        \[ Y(\omega) = \frac{1}{2\pi}(X * P)(\omega). \]

    其中，

        \begin{equation*}\begin{split} P(\omega) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} 2\pi a_n\delta(\omega - n\omega_s), \\ a_n &= \frac 1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2} p(t)e^{-jn\omega_st}dt = \frac 1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2} \delta(t)e^{-jn\omega_st}dt = \frac 1T. \end{split}\end{equation*}

    因此，

        \[ Y(\omega) = \frac 1T\sum_{n \in \mathbb{Z}} X(\omega - n\omega_s). \]

  • 采样相当于将信号的频谱平移\omega_s的整数倍，然后全部相加并乘以\frac 1T。如果X(\omega)位于|\omega| \leq \omega_M，那么我们可以得到采样定理
    • 当\omega_s > 2\omega_M时，平移后的频谱不重叠，由样本可以恢复出原始信号
    • 当\omega_s < 2\omega_M时，平移后的频谱重叠，由样本不可以恢复出原始信号
    • 因此，信号最高频率的2倍为临界采样率，称为Nyquist采样率
  • 比如对于CD格式，采样率为44.1kHz，而人能听到的频率范围为20Hz~20kHz。因此，CD格式可以恢复出人能听到的音乐

模拟信号的幅度调制

  • 我们还可以将H(\omega)作为滤波器，选择特定范围的频率
  • 比如对于模拟信号的幅度调制，设基带信号为x(t)，载波信号为\cos(\omega_ct)。那么，已调信号为

        \[ y(t) = x(t)\cos(\omega_ct), \]

    已调信号的频谱为

        \[ Y(\omega) = \frac 12[X(\omega + \omega_c) + X(\omega - \omega_c)]. \]

  • 上面的调制方法相当于将频谱平移-\omega_c、\omega_c，也就是复制了两份。为了减少带宽的占用，我们令已调信号的频谱为

        \[ Y(\omega) = \frac 12[X(\omega + \omega_c) + X(\omega - \omega_c)]H(\omega), \]

    已调信号为

        \[ y(t) = [x(t)\cos(\omega_ct)] * h(t). \]

    • 只保留上边带，对应于高通滤波器

          \[ H(\omega) = \begin{cases} 1,\; & |\omega| > \omega_c, \\ 0,\; & |\omega| \leq \omega_c. \end{cases} \]

    • 只保留下边带，对应于低通滤波器

          \[ H(\omega) = \begin{cases} 1,\; & |\omega| \leq \omega_c, \\ 0,\; & |\omega| > \omega_c. \end{cases} \]

    • 上面的滤波器在-\omega_c、\omega_c处突然截止，实际上无法实现，所以称为理想滤波器。一般地，我们考虑在-\omega_c、\omega_c附近连续变化的滤波器，满足残留边带条件

          \[ H(\omega + \omega_c) + H(\omega - \omega_c) = const. \]

  • 解调方法
    • 乘以\cos(\omega_ct)，频谱变为

          \begin{equation*}\begin{split} &\mathrel{\phantom{=}} \frac 14X(\omega)[H(\omega + \omega_c) + H(\omega - \omega_c)] \\ &+ \frac 14[X(\omega + 2\omega_c)H(\omega + \omega_c) + X(\omega - 2\omega_c)H(\omega - \omega_c)]. \end{split}\end{equation*}

    • 经过一个低通滤波器，频谱变为

          \[ \frac 14X(\omega)[H(\omega + \omega_c) + H(\omega - \omega_c)] = const \cdot X(\omega). \]

      此时，我们已经可以恢复出原始信号