自旋群 – 佚名

参考资料：Spin Geometry

四元数和自旋群

模长为1的四元数
- 由四元数可知，模长为1的四元数可以视为3维球面 $S^3$ ，或者 $SU(2, \mathbb{C})$
- 由计算机图形学的几何变换可知，模长为1的四元数 $q$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 上的旋转 $f_q$ ，并且 $\mathbb{R}^3$ 上的旋转为 $SO(3, \mathbb{R})$ 中的元素
我们有群同态
$F: SU(2, \mathbb{C}) \to SO(3, \mathbb{R}),\; q \mapsto f_q.$
- 根据计算机图形学的几何变换中的对应关系， $F$ 为满的，故
  $SU(2, \mathbb{C}) / kerF \cong SO(3, \mathbb{R}).$
- $q \in kerF$ 满足
  $f_q(x) = x \Rightarrow qx = xq.$
  分别取 $x = i$ 、 $j$ 、 $k$ ，可得 $q = \pm 1$
为二重覆盖映射
- 因为 $SO(3, \mathbb{R})$ 中的元素为 $\mathbb{R}^3$ 上的旋转（Rotation），所以 $SU(2, \mathbb{C})$ 中的元素为 $\mathbb{R}^3$ 上的自旋（Spin），一个旋转对应于两个自旋 $\pm$
- $SU(2, \mathbb{C})$ 为自旋群，记为
  $Spin(3) = SU(2, \mathbb{C}).$
- $SO(3, \mathbb{R})$ 为3维实射影空间，
  $SO(3, \mathbb{R}) \cong S^3 / \{ \pm 1 \} \cong \mathbb{R}P^3.$
  从而， $\pi_1(SO(3, \mathbb{R})) = \mathbb{Z}_2$
一般的自旋群
- $SO(n, \mathbb{R})$ 作用于 $S^{n - 1}$ ，稳定子群为 $SO(n - 1, \mathbb{R})$ 。令 $G = SO(n, \mathbb{R})$ 、 $H = SO(n - 1, \mathbb{R})$ ，我们有纤维丛
  $H \hookrightarrow G \to G / H \cong S^{n - 1}.$
  利用同伦群的长正合列，
  $\pi_2(S^{n - 1}) \to \pi_1(SO(n - 1, \mathbb{R})) \to \pi_1(SO(n, \mathbb{R})) \to \pi_1(S^{n - 1}),$
  当 $n \geq 4$ 时， $\pi_2(S^{n - 1}) = \pi_1(S^{n - 1}) = 0$ ，故
  $\pi_1(SO(n, \mathbb{R})) \cong \pi_1(SO(n - 1, \mathbb{R})),\; n \geq 4.$
- 由上面的递推关系可知，
  $\pi_1(SO(n, \mathbb{R})) \cong \pi_1(SO(3, \mathbb{R})) = \mathbb{Z}_2,\; n \geq 4.$
  因此， $SO(n, \mathbb{R})$ 的二重万有覆盖空间为一个Lie群，称为自旋群，记为 $Spin(n)$