自旋 – 佚名

Dirac符号

关于 $\mathbb{C}$ 上的线性代数，可参见数值线性代数。关于 $\mathbb{C}^n$ 上的内积、Hermite形式，可参见矩阵群
在量子力学中，我们使用如下Dirac符号（Dirac Notation）
- 数学期望、共轭、伴随算子
  - 数学期望 $\mathbb{E}[x]$ –> $\overline{x}$
  - 共轭 $\overline{x}$ –> $x^*$
  - 伴随算子 $A^* = \overline{A^T}$ –> $A^\dag$
- 单位正交基（右矢）、对偶单位正交基（左矢）
  - 单位正交基 $e_i$ –> 右矢 $|i\rangle$
  - 对偶单位正交基 $e^i = \overline{e_i^T}$ –> 左矢 $\langle i| = |i\rangle^\dag$
- 内积、Hermite形式
  - 内积 $\langle{\overline{x}, \overline{y}}\rangle_{\mathbb{C}^n} = \overline{x^T}y$ –> $\langle{x|y}\rangle$
  - Hermite形式 $\beta(\overline{x}, \overline{y}) = \overline{x^T}By$ –> $\langle{x|B|y}\rangle$
  - 因此，在 $\mathbb{C}$ 上的线性代数中，内积、Hermite形式关于第二个分量是共轭线性的；在量子力学中，内积、Hermite形式关于第一个分量是共轭线性的
事实上，Dirac符号也适用于无限维、张量（泛函分析 + 张量分析），如下表所示
- 在无限维的情形下，我们无法取有限的基底；不过，我们仍然可以定义张量积，可参见模范畴和同态函子、张量积函子
- 张量积 $e_{i_1} \otimes \cdots e_{i_r} \otimes e^{j_1} \otimes \cdots e^{j_s}$ –> $|i_1 \cdots i_r\rangle\langle j_1 \cdots j_s|$