佚名

度量和拓扑

度量

  • 设X为集合。X上的度量（Metric），或者距离（Distance）为

        \[ d: X \times X \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \}, \]

    它满足如下条件
    • （自反性）d(x, x) = 0
    • （对称性）d(x, y) = d(y, x)
    • （传递性）d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)
    • （正定性）d(x, y) \geq 0，并且d(x, y) = 0 \Rightarrow x = y
  • (X, d)称为度量空间（Metric Space），或者距离空间（Distance Space）
    • 如果Y为X的子集，那么Y上的子空间度量为d|_{Y \times Y}
    • 由定义可知，我们有如下的等价关系

          \[ x \sim y \text{ for any } d(x, y) < \infty. \]

      也就是说，X可以分解为子集的不交并，同一子集之间的两点距离有限，不同子集之间的两点距离无限。因此，我们也可以化归为距离有限的情形
    • 注意，度量是有限的度量，Riemann度量是无穷小的度量，二者是不同的。正如无穷小旋转可以生成有限旋转，Riemann度量也可以生成度量
  • 度量的性质
    • 传递性是主要性质，它也叫做三角不等式（在三角形中，两边之和大于第三边）
    • 正定性对应于内积，所以度量可以由内积诱导
    • 在度量空间中，我们可以定义收敛、极限（根据三角不等式，极限唯一），

          \[ x_n \to x \Leftrightarrow d(x_n, x) \to 0. \]

      从而，我们可以定义Cauchy列，

          \[ x_n \text{ is a Cauchy sequence} \Leftrightarrow d(x_m, x_n) \to 0. \]

      如果Cauchy列收敛，那么(X, d)称为完备度量空间

泛函分析中的空间

  • 关于\mathbb{R}^n、\mathbb{C}^n上的内积、范数，可参见矩阵群
  • 在\mathbb{R}^n上的内积为

        \[ \langle{x, y}\rangle_{\mathbb{R}^d} = x^Ty. \]

    它是对称、正定的双线性形式。注意，正定性需要使用全序关系，所以对于一般的域上的线性空间，内积的定义是不同的
    • 复数域 –> 需要使用线性-共轭线性形式
    • 一般的域 –> 需要去掉正定性，比如一般线性编码中的内积
  • \mathbb{R}^n上的内积、范数分别为

        \[ \langle{x, y}\rangle_{\mathbb{R}^d} = x^Ty,\; ||x|| = \sqrt{\langle{x, x}\rangle_{\mathbb{R}^n}}. \]

    它诱导Euclid度量

        \[ d(x, y) = ||x - y||. \]

    • 我们也可以取其他范数，比如l^1、l^\infty范数

          \[ ||x||_1 = \sum_{i = 1}^n |x_i|,\; ||x||_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|. \]

      它们分别诱导d_{l^1}、d_{l^\infty}
  • \mathbb{R}^{n \times n}上的范数为

        \[ ||A|| = \sup_{x \neq 0} \frac{||Ax||}{||x||} = \sup_{||x|| = 1} ||Ax||. \]

    它诱导度量

        \[ d(A, B) = ||A - B||. \]

  • 由上述可知，内积可以诱导范数，范数可以诱导度量。因此，内积空间为带范数的线性空间，带范数的线性空间为度量空间
    • Hilbert空间为完备的内积空间，Banach空间为完备的带范数的线性空间
    • 矩阵还是带范数的\mathbb{R}-代数，范数和乘法的相容性为

          \[ ||AB|| \leq ||A|| \cdot ||B||. \]

      Banach代数为完备的带范数的\mathbb{R}-代数

度量诱导的拓扑

  • 进一步，度量可以诱导拓扑。因此，度量空间为拓扑空间
  • 在度量空间(X, d)中，开球为

        \[ B_r(x) = \{ y \in X : d(y, x) < r \}, \]

    闭球为

        \[ \overline{B}_r(x) = \{ y \in X : d(y, x) \leq r \}. \]

  • 在不同的度量空间中，开球、闭球是不同的
    • 在Lebesgue测度中，我们有AABB（Axis-Aligned Bounding Box，沿坐标轴对齐的包围盒）。d_{l^\infty}、d_{l^1}的开球分别对应于开的AABB、开的AABB作仿射变换
    • 注意，开球的闭包不一定为闭球，比如一般线性编码中的(\mathbb{F}_2, d_{Ham})
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  • 拓扑不一定是由度量诱导的，比如代数几何的Zariski拓扑
  • Zariski拓扑可以建立在环的谱（Spectrum）上，以下三种谱是一致的
    • 环的谱
    • 算子的谱
    • 光谱