PDE的解的正则性

磨光核

核函数和卷积的性质源于
- 在Fourier级数的收敛性中，Dirichlet核 $D_N \to \delta$ 、Fejér核 $K_N \to \delta$ ，故
  $\begin{equation*}\begin{split} D_N * f \to \delta * f &= f, \\ K_N * f \to \delta * f &= f. \end{split}\end{equation*}$
- 在Fourier变换的反演公式中，Gauss核 $G_\epsilon \to \delta$ ，故
  $G_\epsilon * f \to \delta * f = f.$
- 在复数域上的分析中，Cauchy核与 $f$ （在边界上）卷积之后为 $f$ 本身，这是通过Stokes定理，将区域上的卷积 $\delta * f = f$ 转化为边界上的卷积
在这里，我们考虑磨光核，它不仅满足，而且与非光滑的函数卷积之后可以得到光滑的函数，所以它也叫做光滑化子（Mollifier）
- 由于 $\eta_\epsilon \to \delta$ ，故 $\eta_\epsilon$ 的积分为1（归一化），并且越来越集中于0附近（局部化）。又由于 $\eta_\epsilon$ 可以将非光滑的函数光滑化，故 $\eta_\epsilon$ 本身是光滑的
- 指数函数比多项式的增长更快，所以
  $P(x)e^{-x} \to 0 \text{ as } x \to +\infty.$
  考虑如下函数
  $f(x) = \begin{cases}e^{-\frac 1x},\; & x > 0, \\ 0,\; & x \leq 0.\end{cases}$
  我们有
  $\frac{d^nf}{dx^n} = P\bigg(\frac 1x\bigg)e^{-\frac 1x} \to 0 \text{ as } x \to 0^+.$
  因此， $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数。特别地， $f$ 在0处是光滑的，但不是解析的——它在0处的Taylor展开式为0，但它在0附近不为0
- 通过取范数，我们可以得到 $\mathbb{R}^d$ 上的光滑函数
  $\eta(x) = f(1 - |x|^2),\; x \in \mathbb{R}^d.$
  这里， $\eta \geq 0$ ，并且 $\eta$ 只在 $B_1(0)$ 上非0。我们称 $\eta$ 的支撑集为
  $supp(\eta) = \overline{\{ x \in \mathbb{R}^d : \eta(x) \neq 0 \}} = \overline{B_1(0)}.$
  最后，利用伸缩，我们可以得到满足归一化、局部化的磨光核
  $\eta_\epsilon(x) = C \cdot \epsilon^{-d}\eta(\epsilon^{-1}x).$

磨光核

全纯函数的正则性