佚名

使用Fourier变换求解PDE

参考资料：偏微分方程

基本解和Green函数

  • 求解Poisson方程

        \[ \Delta u = f. \]

    • 我们可以先得到基本解

          \[ \Delta\Gamma(x) = \delta(x), \]

      再使用卷积即可

          \[ \Delta(\Gamma * f) = (\Delta\Gamma) * f = \delta * f = f. \]

    • 或者，我们可以先得到Green函数

          \[ \Delta G(x, y) = \delta(x - y), \]

      再使用积分变换即可

          \[ \Delta(G * f) = (\Delta G) * f = \delta * f = f. \]

  • 此方法可以将求解非齐次方程（右端为f）基本上化归为求解齐次方程（右端为\delta），它不仅适用于Laplace算子\Delta，也适用于常系数的微分算子L。进一步，求解齐次方程需要其他方法
    • 由Fourier变换的反演公式可知，Fourier变换可以将常系数的微分算子变为代数的乘法算子，所以我们可以先进行Fourier变换，求解变换后的方程，再进行Fourier逆变换，得到PDE的解
      • 椭圆型（\Delta） –> Laplace算子的基本解
      • 抛物型（\Delta - \partial_t） –> 热方程
      • 色散型（\Delta + i\partial_t） –> Schrödinger方程
      • 双曲型（\Delta - \partial_{tt}） –> 弦振动方程
    • 一般地，将代数的乘法算子，更换为一般的乘法算子，可得伪微分算子

求Laplace算子的基本解

  • 关于Gamma函数\Gamma(s)（和基本解的符号冲突），可参见Beta函数和Gamma函数
  • 求Laplace算子在\mathbb{R}^d上的基本解

        \[ \Delta\Gamma(x) = \delta(x). \]

  • 进行Fourier变换，

        \[ -4\pi^2|\xi|^2\widehat{\Gamma}(\xi) = 1. \]

    求解变换后的方程，再进行Fourier逆变换，

        \[ \Gamma(x) = -\frac{1}{4\pi^2}(|\xi|^{-2})^{\vee}. \]

  • 下面，我们计算一般的(|\xi|^{-\alpha})^{\vee}，0 < \alpha < d。利用|\xi|^{-\alpha}的伸缩性、旋转对称性，以及Fourier变换的反演公式中的伸缩性、旋转性，可得

        \[ (|\xi|^{-\alpha})^{\vee} = C|x|^{\alpha - d}. \]

    关键在于计算C。受到Math StackExchange的启发，令g = e^{-\pi|x|^2}，由Plancherel定理可知，

        \[ \langle{C|x|^{\alpha - d}, g}\rangle_{L^2} = \langle{|\xi|^{-\alpha}, \widehat{g}}\rangle_{L^2}. \]

    分别计算左右两端，我们使用Gamma函数\Gamma(s)。左端为

        \begin{equation*}\begin{split} &\mathrel{\phantom{=}} C\int_0^{+\infty} r^{\alpha - d}e^{-\pi r^2} \cdot d\omega_dr^{d - 1}dr \\ &= Cd\omega_d\int_0^{+\infty} r^{\alpha - 1}e^{-\pi r^2}dr \\ &= Cd\omega_d\int_0^{+\infty} (\pi^{-\frac 12}s)^{\alpha - 1}e^{-s^2}d(\pi^{-\frac 12}s) \\ &= Cd\omega_d\pi^{-\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac 12\Gamma\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg). \end{split}\end{equation*}

    类似地，右端为

        \[ d\omega_d\pi^{-\frac{d - \alpha}{2}} \cdot \frac 12\Gamma\bigg(\frac{d - \alpha}{2}\bigg). \]

    因此，

        \[ C = \pi^{\alpha - \frac d2}\frac{\Gamma(\frac{d - \alpha}{2})}{\Gamma(\frac{\alpha}{2})}. \]

  • 当\alpha = 2时，C = \pi^{2 - \frac d2}\Gamma(\frac d2 - 1)。利用\omega_d = \frac{2\pi^{\frac d2}}{d\Gamma(\frac d2)}，我们可以得到\mathbb{R}^d上的基本解，

        \begin{equation*}\begin{split} \Gamma(x) &= \frac{1}{-4\pi^2}\pi^{2 - \frac d2}\Gamma\bigg(\frac d2 - 1\bigg)|x|^{2 - d} \\ &= \frac{1}{-4\pi^{\frac d2}}\frac{\Gamma(\frac d2)}{\frac d2 - 1}|x|^{2 - d} \\ &= \frac{1}{-d(d - 2)\omega_d}|x|^{2 - d}. \end{split}\end{equation*}

  • 在Maxwell方程组中，我们使用了一个等式

        \[ \Delta\frac{1}{|r - r'|} = -4\pi\delta(r - r'). \]

    这可以由Laplace算子在\mathbb{R}^3上的基本解得到，

        \[ \Delta(|x|^{-1}) = -3\omega_3\Delta\Gamma(x) = -4\pi\delta(x). \]

求解热方程

  • 求解热方程

        \begin{equation*}\begin{cases} \partial_tu(x, t) = \Delta u(x, t), \\ u(x, 0) = \psi(x). \end{cases} \end{equation*}

  • 进行Fourier变换，

        \begin{equation*}\begin{cases} \partial_t\widehat{u}(\xi, t) = -4\pi^2|\xi|^2 \cdot \widehat{u}(\xi, t), \\ \widehat{u}(\xi, 0) = \widehat{\psi}(\xi). \end{cases}\end{equation*}

    求解变换后的方程，再进行Fourier逆变换，

        \begin{equation*}\begin{split} \widehat{u}(\xi, t) &= e^{-4\pi^2|\xi|^2t} \cdot \widehat{\psi}(\xi), \\ u(x, t) &= (e^{-4\pi^2|\xi|^2t})^{\vee} * \psi. \end{split}\end{equation*}

  • 注意到

        \begin{equation*}\begin{split} (e^{-\pi|(4\pi t)^{\frac 12}\xi|^2})^{\vee}(x) &= (4\pi t)^{-\frac d2}(e^{-\pi|\xi|^2})^{\vee}\bigg[\frac{x}{(4\pi t)^{\frac 12}}\bigg] \\ &= (4\pi t)^{-\frac d2}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}. \end{split}\end{equation*}

    因此，

        \[ u(x, t) = \int_{\mathbb{R}^d} (4\pi t)^{-\frac d2}e^{-\frac{|x - y|^2}{4t}}\psi(y)dy. \]

求解Schrödinger方程

  • 求解Schrödinger方程

        \begin{equation*}\begin{cases} \partial_tu(x, t) = i \cdot \Delta u(x, t), \\ u(x, 0) = \psi(x). \end{cases} \end{equation*}

  • 进行Fourier变换，

        \begin{equation*}\begin{cases} \partial_t\widehat{u}(\xi, t) = i \cdot (-4\pi^2|\xi|^2) \cdot \widehat{u}(\xi, t), \\ \widehat{u}(\xi, 0) = \widehat{\psi}(\xi). \end{cases}\end{equation*}

    求解变换后的方程，再进行Fourier逆变换，

        \begin{equation*}\begin{split} \widehat{u}(\xi, t) &= e^{i \cdot (-4\pi^2|\xi|^2t)} \cdot \widehat{\psi}(\xi), \\ u(x, t) &= (e^{i \cdot (-4\pi^2|\xi|^2t)})^{\vee} * \psi. \end{split}\end{equation*}

  • 注意到

        \begin{equation*}\begin{split} (e^{-\pi|(i \cdot 4\pi t)^{\frac 12}\xi|^2})^{\vee}(x) &= (i \cdot 4\pi t)^{-\frac d2}(e^{-\pi|\xi|^2})^{\vee}\bigg[\frac{x}{(i \cdot 4\pi t)^{\frac 12}}\bigg] \\ &= (i \cdot 4\pi t)^{-\frac d2}e^{i \cdot \frac{|x|^2}{4t}}. \end{split}\end{equation*}

    因此，

        \[ u(x, t) = \int_{\mathbb{R}^d} (i \cdot4\pi t)^{-\frac d2}e^{i \cdot \frac{|x - y|^2}{4t}}\psi(y)dy. \]

求解弦振动方程

  • 弦振动是1维波动，水面波是2维波动，声波、电磁波是3维波动。在这里，我们考虑弦振动方程，即1维波动方程

        \[ \partial_{tt}u(x, t) = \partial_{xx}u(x, t). \]

  • 进行Fourier变换，

        \[ \partial_{tt}\widehat{u}(\xi, t) = -4\pi^2\xi^2\widehat{u}(\xi, t). \]

    求解变换后的方程，再进行Fourier逆变换，

        \begin{equation*}\begin{split} \widehat{u}(\xi, t) &= \widehat{f}(\xi)e^{-2\pi i\xi t} + \widehat{g}(\xi)e^{2\pi i\xi t}, \\ u(x, t) &= f(x - t) + g(x + t). \end{split}\end{equation*}

  • 这里，f、g为任意函数，并且我们利用了Fourier变换的反演公式中的平移性。因此，1维波动可以分解为正向波、反向波，这称为d’Alembert公式