流形上的整体结构

微分结构

微分结构是流形上的第一个整体结构。然而，流形上可能不存在微分结构，或者存在多个微分结构
- 对于2维、3维，流形上存在唯一的微分结构。我们需要利用流形上的三角剖分，首先得到PL（Piecewise Linear，分片线性）结构，然后得到微分结构
- 对于4维，我们可以用Seiberg-Witten不变量来研究流形上的微分结构
流形
- （局部坐标邻域）我们有开覆盖
  $M = \cup_i U_i.$
- （局部坐标映射）我们有同胚，从 $M$ 的开集到 $\mathbb{R}^n$ 的开集
  $\varphi_i: U_i \subset M \to \varphi_i(U_i) \subset \mathbb{R}^n.$
- 流形在日语中叫做多様体（たようたい）。也就是说，流形是（在局部）可以用多维坐标来描述的形体，流形的维数为坐标的维数。进一步，如果要建立流形上的分析，以及更多的几何结构，那么我们还需要流形上的微分结构
流形上的微分结构，
- （转移映射）我们有 $C^r$ 微分同胚，从 $\mathbb{R}^n$ 的开集到 $\mathbb{R}^n$ 的开集
  $\varphi_j \circ \varphi_i^{-1}: \varphi_i(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{R}^n \to \varphi_j(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{R}^n.$
- 转移映射自动为 $C^0$ 同胚。因此，流形也叫做 $C^0$ 流形（或者拓扑流形）
- 进一步，如果转移映射为 $C^r$ 微分同胚，那么我们可以得到 $C^r$ 流形（或者微分流形）； $C^\infty$ 流形也叫做光滑流形
- 我们也可以考虑其他正则性。如果转移映射为 $C^{k, \alpha}$ 微分同胚，那么我们可以得到 $C^{k, \alpha}$ 流形。注意， $C^{0, \alpha}$ 流形可能不存在一阶微分算子，从而不存在切空间； $C^{0, 1}$ 流形也叫做Lipschitz流形
下面，我们提升微分结构的正则性，从微分结构提升到微分结构。然而，无法提升到，即拓扑流形和微分流形具有本质的不同
- 在逆映射定理中， $C^1$ 映射的局部性质可以通过Jacobi矩阵控制，而 $C^0$ 映射的局部性质则无法控制。因此， $C^0$ 映射可能是病态的（Pathological），比如处处连续但处处不可微的映射

提升微分结构的正则性

使用PDE的解的正则性中的磨光核和卷积，提升正则性

丛、层

关于切丛、余切丛、张量丛，可参见纤维丛的定义
我们用农业来播种
- 为集合
  - 土地是裸露的岩石
- 赋予拓扑，成为一个拓扑空间。进一步，赋予局部坐标，成为一个流形
  - 土地仍然贫瘠
- 赋予微分结构，成为一个微分流形。进一步，的微分结构提升到微分结构，成为一个光滑流形
  - 土地有了第一层土壤，并且经过改良，可以开始种植作物
- 上的切丛为
  $p: TM \to M.$
  - 如果在一点 $x$ 处收获，那么可以得到作物的纤维（Fiber）
    $p^{-1}(x) \cong \mathbb{R}^n.$
  - 如果在局部平凡化邻域 $U$ 处收获，那么可以得到作物的丛（Bundle）
    $p^{-1}(U) \cong U \times \mathbb{R}^n.$
- 由纤维丛的定义可知，我们也可以观察截面。设为开集，那么上的截面为上的切向量场，
  $\mathcal{T}(U) = \{ s: U \to TM \text{ is a section} \}.$
  - 如果在一点 $x$ 处收获，那么可以得到作物的茎（Stalk）
    $\mathcal{T}_x.$
  - 如果在开集 $U$ 处收获，那么可以得到作物的捆（Sheaf）
    $\mathcal{T}(U).$
  - 捆论（Sheaf Theory）也叫做层论，它研究土地上种植的不同品种之间的关系
流形上的几何结构通常是一个张量，比如双线性形式。通常，我们考虑双线性形式的矩阵为非退化的，它可以分解为一个对称部分，一个反对称部分
$B = \frac{B+ B^T}{2} + \frac{B - B^T}{2}.$
- 如果 $B$ 只有对称、正定的部分，那么我们可以得到Riemann流形，它对应于Riemann几何
- 如果 $B$ 只有对称、不定的部分，那么我们可以得到伪Riemann流形，它对应于伪Riemann几何
- 如果 $B$ 只有反对称的部分，那么我们可以得到辛流形，它对应于辛几何