Fourier变换的反演公式

Schwartz空间

Schwartz空间为
$\mathcal{S}(\mathbb{R}^d) = \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^d) : x^\alpha\partial_x^\beta f(x) \in L^\infty(\mathbb{R}^d) \text{ for any } \alpha, \beta \}.$
如果，那么的Fourier变换为
$\widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi ix \cdot \xi}f(x)dx,\; \xi \in \mathbb{R}^d.$
- 由定义可知， $||\widehat{f}||_\infty \leq ||f||_1$
- （平移性）对任意 $b \in \mathbb{R}^d$ ，我们有
  $\begin{equation*}\begin{split} [f(x + b)]^\wedge(\xi) &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi ix \cdot \xi}f(x + b)dx \\ &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi i(y - b) \cdot \xi}f(y)d(y - b) \\ &= e^{2\pi ib \cdot \xi}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi iy \cdot \xi}f(y)dy \\ &= e^{2\pi ib \cdot \xi}\widehat{f}(\xi). \end{split}\end{equation*}$
- （伸缩性）对任意 $\lambda \in \mathbb{R}_+$ ，我们有
  $\begin{equation*}\begin{split} [f(\lambda x)]^\wedge(\xi) &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi ix \cdot \xi}f(\lambda x)dx \\ &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi i(\lambda^{-1}y) \cdot \xi}f(y)d(\lambda^{-1}y) \\ &= \lambda^{-d}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi iy \cdot (\lambda^{-1}\xi)}f(y)dy \\ &= \lambda^{-d}\widehat{f}(\lambda^{-1}\xi). \end{split}\end{equation*}$
- （旋转性）对任意 $A \in SO(d, \mathbb{R})$ ，我们有
  $\begin{equation*}\begin{split} [f(Ax)]^\wedge(\xi) &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi ix \cdot \xi}f(Ax)dx \\ &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi i(A^{-1}y) \cdot \xi}f(y)d(A^{-1}y) \\ &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi iy \cdot (A\xi)}f(y)dy \\ &= \widehat{f}(A\xi). \end{split}\end{equation*}$
如果，那么
$[\partial_x^\alpha f(x)]^\wedge(\xi) = (2\pi i)^{|\alpha|}\xi^\alpha\widehat{f}(\xi),$
$\partial_\xi^\alpha\widehat{f}(\xi) = (-2\pi i)^{|\alpha|}[x^\alpha f(x)]^\wedge(\xi).$
- 第一个等式可以由分部积分得到
- 第二个等式可以由交换求导、积分次序得到。这里需要使用Lebesgue控制收敛定理
- 因此， $\widehat{f} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ ，即Fourier变换是从 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 到 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 的变换

反演公式

Gauss函数的Fourier变换为
$\widehat{e^{-\pi|x|^2}}(\xi) = e^{-\pi|\xi|^2}.$
- 由于
  $\int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi ix \cdot \xi}e^{-\pi|x|^2}dx = \prod_{i = 1}^d\int_\mathbb{R} e^{-2\pi ix_i\xi_i}e^{-\pi x_i^2}dx_i.$
  故我们只需证明1维情形
- 转换为复变函数的积分
  $\int_\mathbb{R} e^{-2\pi ix_i\xi_i}e^{-\pi x_i^2}dx_i = e^{-\pi\xi_i^2}\int_\gamma e^{-\pi z^2}dz,$
  其中， $\gamma = \{ x_i + i\xi_i : x_i \in \mathbb{R} \}$
- $\gamma$ 由 $\mathbb{R}$ 平移 $i\xi_i$ 得到。由复数域上的分析中的Cauchy积分定理（ $e^{-\pi z^2}$ 为全纯函数），我们可以将 $\gamma$ 上的积分转换为 $\mathbb{R}$ 上的积分
  $\int_\gamma e^{-\pi z^2}dz = \int_\mathbb{R} e^{-\pi t^2}dt = 1.$
如果，那么我们有反演公式
$f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} e^{2\pi ix \cdot \xi}\widehat{f}(\xi)d\xi,\; x \in \mathbb{R}^d.$
如果记Fourier逆变换为
$g^{\vee}(x) = \int_{\mathbb{R}^d} e^{2\pi ix \cdot \xi}g(\xi)d\xi,$
那么，
$(\widehat{f})^{\vee} = f,\; \overline{g^{\vee}} = \widehat{\overline{g}}.$
- 反演公式的右端是一个累次积分，但是不能直接交换积分次序。因此，我们使用Lebesgue控制收敛定理，在其中插入一个Gauss函数
  $\int_{\mathbb{R}^d} e^{2\pi ix \cdot \xi}\widehat{f}(\xi)d\xi = \lim_{\epsilon \to 0}\int_{\mathbb{R}^d} e^{2\pi ix \cdot \xi}e^{-\pi\epsilon^2|\xi|^2}\widehat{f}(\xi)d\xi.$
  然后，使用Fubini定理交换积分次序，得到
  $\lim_{\epsilon \to 0}\int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d} e^{2\pi i(x - y)\cdot \xi}e^{-\pi\epsilon^2|\xi|^2}d\xi f(y)dy.$
- 注意，关于 $\xi$ 的积分实际上是Gauss函数的Fourier变换，
  $G_\epsilon(x - y) = \widehat{e^{-\pi\epsilon^2|\xi|^2}}(y - x) = \epsilon^{-d}e^{-\pi\epsilon^{-2}|x - y|^2}.$
  这里， $G_\epsilon$ 为Gauss核，我们只需证明
  $\lim_{\epsilon \to 0} G_\epsilon * f = f.$
  由于Gauss核 $G_\epsilon$ 有着完全类似于Fejér核 $K_N$ 的性质，故我们可以仿照之前的证明，得到
  $||G_\epsilon * f - f||_\infty \to 0 \text{ as } \epsilon \to 0.$
在不同的地方，Fourier变换和Fourier逆变换有不同的形式，主要是为了消去如下积分产生的常数 $(2\pi)^{-d}$ ，
$\begin{equation*}\begin{split} f(x) &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{2\pi i\xi \cdot x}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-2\pi iy \cdot \xi}f(y)dyd\xi \\ &= \int_{\mathbb{R}^d} e^{i\eta \cdot x}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-iy \cdot \eta}f(y)dyd((2\pi)^{-1}\eta) \\ &= (2\pi)^{-d}\int_{\mathbb{R}^d} e^{i\eta \cdot x}\int_{\mathbb{R}^d} e^{-iy \cdot \eta}f(y)dyd\eta. \end{split}\end{equation*}$

扩展Fourier变换的定义域

由上面的笔记可知，我们定义了Fourier变换
$\mathcal{F}: \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) \to \mathcal{S}(\mathbb{R}^d).$
这里， $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 只包含各阶偏导数比所有幂函数下降都快的函数（比如Gauss函数），这一限制条件太强，我们希望扩展Fourier变换 $\mathcal{F}$ 的定义域，使其能够作用在更加广泛的函数上
$\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 的限制条件越强，那么它的对偶空间 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$ 的限制条件就越弱。对偶空间 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$ 中的元素为 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 上的连续线性泛函。为此我们还需要定义 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 上的收敛性，
$f_n \to f \Leftrightarrow ||x^\alpha\partial_x^\beta[f_n(x) - f(x)]||_\infty \to 0 \text{ for any } \alpha, \beta.$
现在，我们用对偶空间 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$ 、原空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 上的配对 $\langle{\cdot, \cdot}\rangle$ 来定义 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)$ 上的Fourier变换，
$\langle{\widehat{f}, \varphi}\rangle = \langle{f, \widehat{\varphi}}\rangle,\; f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d),\; \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d).$
上面的定义确实扩展了Fourier变换 $\mathcal{F}$ 的定义域（比如增加了 $L^p(\mathbb{R}^d)$ ），原因是它对 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 成立，
$\langle{\widehat{f}, \varphi}\rangle = \int_{\mathbb{R}^d} \widehat{f}(x)\varphi(x)dx = \int_{\mathbb{R}^d} f(x)\widehat{\varphi}(x)dx = \langle{f, \widehat{\varphi}}\rangle.$
这里，我们需要将函数视为连续线性泛函。我们也可以得到
$\widehat{f * \varphi} = \widehat{f}\widehat{\varphi}.$
（Dirac函数和1）
$\langle{\delta, \widehat{\varphi}}\rangle = \widehat{\varphi}(0) = \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(x)dx = \langle{1, \varphi}\rangle,\; \widehat{\delta} = 1.$
$\langle{1, \widehat{\varphi}}\rangle = \int_{\mathbb{R}^d} \widehat{\varphi}(\xi)d\xi = \varphi(0) = \langle{\delta, \varphi}\rangle,\; \widehat{1} = \delta.$
（Plancherel定理）设、。那么，
$\langle{\widehat{f}, \widehat{g}}\rangle_{L^2} = \langle{f, g}\rangle_{L^2}.$
当时，上式成为
- 因为 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 在 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 中稠密，所以我们只需考虑 $f$ 、 $g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ 。此时，
  $\langle{\widehat{f}, \widehat{g}}\rangle_{L^2} = \int \widehat{f} \cdot \overline{\widehat{g}} = \int f \cdot \widehat{\overline{\widehat{g}}} = \int f \cdot \overline{(\widehat{g})^{\vee}} = \int f \cdot \overline{g} = \langle{f, g}\rangle_{L^2}.$