纤维丛的定义

局部平凡丛

由计算机图形学的几何变换可知，计算机图形学可以将中的模型渲染为中的图像，其原理类似于相机拍摄模型的照片。因为投影变换可以让我们从3维降低到2维，所以它是下面第一种成像方法
- 摄影成像（Photography）观察投影
  $p: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\; (x, y, z) \mapsto (x, y).$
- 断层成像（Tomography）观察截面
  $s: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\; (x, y) \mapsto (x, y, f(x, y)).$
- 全息成像（Holography）观察整个空间 $\mathbb{R}^3$
如果全空间 $E$ 为 $\mathbb{R}^3$ （类似于成像的整个空间），底空间 $B$ 为 $\mathbb{R}^2$ （类似于成像的底片），那么我们可以得到整体平凡丛（即乘积丛）
$p: E \to B,\; E = B \times F,$
其中，纤维 $F$ 为 $\mathbb{R}$
一般的纤维丛为局部平凡丛（即在局部上为乘积丛）
$p: E \to B,$
它类似于流形上的整体结构中的流形
- （局部平凡化邻域）我们有开覆盖
  $B = \cup_i U_i.$
- （局部平凡化映射）我们有同胚，从乘积丛到 $E$ 的开集
  $\varphi_i: U_i \times F \to p^{-1}(U_i) \subset E,$
  其中， $\varphi_i$ 是保持纤维的，
  $p \circ \varphi_i(x, f) = x,\; (x, f) \in U_i \times F.$
  也就是说， $\varphi_i$ 将 $\{ x \} \times F$ 映射到 $p^{-1}(x)$ ，二者都同胚于 $F$ ，所以都叫做 $x$ 上的纤维
- 纤维丛的截面满足
  $s: B \to E,\; p \circ s = id_B.$
  纤维丛的截面（在局部）是某个函数 $f$ 的图像，这和断层成像的截面一致，
  $\varphi_i^{-1} \circ s: U_i \to U_i \times F,\; x \mapsto (x, f(x)).$
如果 $F$ 具有离散拓扑，那么对任意局部平凡化的坐标卡 $(U, \varphi)$ ，令
$U_\alpha = \varphi(U \times \{ \alpha \}),\; \alpha \in F.$
我们有如下开集的不交并
$p^{-1}(U) = \coprod_\alpha U_\alpha,$
其中， $p|_{U_\alpha}: U_\alpha \to U$ 为同胚。因为 $U_\alpha$ （数量为 $card(F)$ ）同时投影到 $U$ ，就像同时覆盖在 $U$ 上一样，所以 $p$ 称为覆盖映射。进一步，当 $card(F) = n$ 时， $p$ 称为 $n$ 重覆盖映射

带结构群的纤维丛

现在，我们考虑转移映射
$\varphi_j^{-1} \circ \varphi_i: (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F.$
因为 $\varphi_i$ 、 $\varphi_j$ 为保纤维的，所以转移映射保持基点 $x$ ，并且在 $x$ 上是纤维 $F$ 的同胚，
$\varphi_j^{-1} \circ \varphi_i: (x, f) \mapsto (x, f').$
如果我们将转移映射记为 $\varphi_{ji} = \varphi_j^{-1} \circ \varphi_i$ ，那么它对应于一个转移函数
$\overline{\varphi}_{ji}: U_i \cap U_j \to Homeo(F), \text{ where } f' = \overline{\varphi}_{ji}(x) \cdot f.$
进一步，带结构群 $G$ 的纤维丛将转移函数约化为 $G$ ，
$\overline{\varphi}_{ji}: U_i \cap U_j \to G, \text{ where } f' = \overline{\varphi}_{ji}(x) \cdot f.$
因此，我们需要 $G$ 在 $F$ 上的左作用
在计算机图形学中，中的曲面可以用参数表示来描述。我们考虑如下曲面，它们的底空间为1维圆环，纤维为区间，但是结构群不同，故全空间不同
- 的角度范围
  - 如果 $S^1$ 的角度范围为
    $[0, 2\pi] \to S^1,\; \theta \mapsto (\cos\theta, \sin\theta),$
    那么 $S^1$ 同胚于商空间
    $[0, 2\pi] / \sim, \text{ where } 0 \sim 2\pi.$
  - 如果 $S^1$ 的角度范围为
    $\mathbb{R} \to S^1,\; \theta \mapsto (\cos\theta, \sin\theta),$
    那么 $S^1$ 同胚于商群
    $\mathbb{R} / 2\pi\mathbb{Z}.$
- 平环（Annulus）
  - 参数为 $\theta \in [0, 2\pi]$ 、 $t \in (-\epsilon, \epsilon)$ ，全空间 $E$ 为
    $(\cos\theta, \sin\theta, t) \in \mathbb{R}^3.$
    它可以看成区间 $(-\epsilon, \epsilon)$ 绕 $S^1$ 公转，在 $\mathbb{R}^3$ 中扫过的曲面
- Möbius环（Möbius Band）
  - 参数为 $\theta \in [0, 2\pi]$ 、 $t \in (-\epsilon, \epsilon)$ ，全空间 $E$ 为
    $(\cos\theta(1 + \sin(\theta / 2)t), \sin\theta(1 + \sin(\theta / 2)t), \cos(\theta / 2)t) \in \mathbb{R}^3.$
    它可以看成区间 $(-\epsilon, \epsilon)$ 绕 $S^1$ 公转，并且以一半的角速度自转，在 $\mathbb{R}^3$ 中扫过的曲面
  - Möbius环的一个显著特征是，当 $\theta$ 变为 $\theta + 2\pi$ 时， $t$ 变为 $-t$ 。比如， $(1, 0, \epsilon / 2)$ 转一圈后变为 $(1, 0, -\epsilon / 2)$ ，转两圈后变为 $(1, 0, \epsilon / 2)$
  - Möbius环的另一个显著特征是， $(1, 0, 0)$ 转一圈后变为 $(1, 0, 0)$ ，但是沿着 $\theta$ 方向的切向量不变，沿着 $t$ 方向的切向量反向，故二者作外积得到的法向量反向。由此可知，在 $(1, 0, 0)$ 处我们无法定义法向量的方向，Möbius环是不可定向曲面
- 为了考察结构群，我们需要确定转移映射。取的局部平凡化邻域
  $U_1= (\pi / 2 - \delta, 3\pi / 2 + \delta),\; U_2 = (3\pi / 2 - \delta, 5\pi / 2 + \delta).$
  那么，包含两部分
  - 在 $(3\pi / 2 - \delta, 3\pi / 2 + \delta)$ 上，平环、Möbius环的 $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1$ 都为
    $(\theta, t) \mapsto (\theta, t).$
  - 在 $(\pi / 2 - \delta, \pi / 2 + \delta)$ 上，平环的 $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1$ 为
    $(\theta, t) \mapsto (\theta, t),$
    Möbius环的 $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1$ 为
    $(\theta, t) \mapsto (\theta + 2\pi, -t).$
- 最终，平环的结构群为平凡群 $\{ 1 \}$ ，Möbius环的结构群为非平凡群 $\{ \pm 1 \}$

微分纤维丛、向量丛

通常，带结构群 $G$ 的纤维丛由微分流形产生，这样的纤维丛称为微分纤维丛
微分纤维丛包括切丛、余切丛、-型张量丛等。它们的纤维都是向量空间，它们的结构群都是一般线性群，所以它们也叫做向量丛。类似于数值线性代数，我们将向量空间的、移植到向量丛上
- 切丛
  - 底空间 $B$ 为微分流形 $M$ ，纤维 $F$ 为切空间 $T_xM \cong \mathbb{R}^n$ ，全空间 $E$ 为切丛 $TM$
  - $M$ 的坐标卡诱导 $TM$ 的坐标卡，
    $(x, v) \mapsto \sum_{i = 1}^n v^i\frac{\partial}{\partial x^i}.$
  - $M$ 的转移映射诱导 $TM$ 的转移映射，
    $(x, v) \mapsto (x, w),$
    其中，我们有切向量的坐标变换公式
    $w^j = \sum_{i = 1}^n v^i\frac{\partial y^j}{\partial x^i}.$
    因为这是一个可逆的线性变换，所以切丛的结构群为 $GL(n, \mathbb{R})$
- 余切丛
  - 底空间 $B$ 为微分流形 $M$ ，纤维 $F$ 为余切空间
    $T_x^*M = Hom(T_xM, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^n,$
    全空间 $E$ 为余切丛
    $T^*M = Hom(TM, \mathbb{R}).$
  - $M$ 的坐标卡诱导 $T^*M$ 的坐标卡，
    $(x, v) \mapsto \sum_{i = 1}^n v_idx^i.$
  - $M$ 的转移映射诱导 $T^*M$ 的转移映射，
    $(x, v) \mapsto (x, w),$
    其中，我们有余切向量的坐标变换公式
    $w_j = \sum_{i = 1}^n v_i\frac{\partial x^i}{\partial y^j}.$
    因为这是一个可逆的线性变换，所以余切丛的结构群为 $GL(n, \mathbb{R})$
- -型张量丛
  - 底空间 $B$ 为微分流形 $M$ ，纤维 $F$ 为 $(r, s)$ -型张量空间
    $(T_r^s)_xM = T_xM \otimes \cdots \otimes T_xM \otimes T_x^*M \otimes \cdots \otimes T_x^*M \cong \mathbb{R}^{n^{r + s}},$
    全空间 $E$ 为 $(r, s)$ -型张量丛
    $T_r^sM = TM \otimes \cdots \otimes TM \otimes T^*M \otimes \cdots \otimes T^*M.$
  - $M$ 的坐标卡诱导 $T_r^sM$ 的坐标卡，
    $(x, v) \mapsto \sum_{i_1, \ldots, j_s = 1}^n v_{j_1 \ldots j_s}^{i_1 \ldots i_r}\frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \cdots \otimes dx^{j_s}.$
  - $M$ 的转移映射诱导 $T_r^sM$ 的转移映射，
    $(x, v) \mapsto (x, w),$
    其中，我们有 $(r, s)$ -型张量的坐标变换公式
    $w_{l_1 \ldots l_s}^{k_1 \ldots k_r} = \sum_{i_1, \ldots, j_s = 1}^n v_{j_1 \ldots j_s}^{i_1 \ldots i_r}\frac{\partial y^{k_1}}{\partial x^{i_1}} \cdots \frac{\partial x^{j_s}}{\partial y^{l_s}}.$
    因为这是一个可逆的线性变换，所以 $(r, s)$ -型张量丛的结构群为 $GL(n^{r + s}, \mathbb{R})$