Fourier级数的收敛性

Fourier级数的定义

周期函数
- 对于1维环面
  $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1,$
  相差一个整数的点是等价的。因此， $\mathbb{T}$ 上的函数为周期为1的1维函数，它可以展开为1维Fourier级数
- 对于 $n$ 维环面
  $\mathbb{T}^n = \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n \cong (S^1)^n,$
  相差一个整数向量的点是等价的。因此， $\mathbb{T}^n$ 上的函数为周期为1的 $n$ 维函数，它可以展开为 $n$ 维Fourier级数
- 因为周期性可以用加法来刻画（1维环面 $\mathbb{T}$ 、 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$ 为Abel群），所以调和分析可以建立在（局部紧的）Abel群上。在这里，我们只考虑1维环面 $\mathbb{T}$ 的情形，上面的指数周期函数为
  $e(x) = e^{2\pi ix}.$
如果 $f \in L^1(\mathbb{T})$ ，那么 $f$ 的Fourier级数为
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} \widehat{f}(n)e(nx),$
其中， $\widehat{f}(n) = \int_\mathbb{T} e(-nx)f(x)dx$ 。Fourier级数的部分和为
$S_Nf(x) = \sum_{n = -N}^N \widehat{f}(n)e(nx).$
我们希望得到Fourier级数的收敛性
$S_Nf \to f \text{ as } N \to \infty.$

Dirichlet核

Dirichlet核为
$D_N(x) = \sum_{n = -N}^N e(nx).$
它与 $f$ 的卷积为部分和， $D_n * f = S_Nf$
Dirichlet核的不同形式
$D_N(x) = 1 + \sum_{n = 1}^N 2\cos(2n\pi x) = \frac{\sin[(2N + 1)\pi x]}{\sin(\pi x)}.$
由此可知，
$\int_\mathbb{T} D_N(x)dx = \int_\mathbb{T} 1dx + 2\sum_{n = 1}^n\int_\mathbb{T} \cos(2n\pi x)dx = 1.$
因为
$\int_{-\frac 12}^{\frac 12} |D_N(x)|dx \leq C\bigg(\int_0^{\frac 1N} Ndx + \int_{\frac 1N}^{\frac 12} x^{-1}dx\bigg) \leq C\ln N,$
$\begin{equation*}\begin{split} \int_{-\frac 12}^{\frac 12} |D_N(x)|dx &\geq C\sum_{i = 0}^{N - 1}\int_{\frac{i}{2N + 1}}^{\frac{i + 1}{2N + 1}} \frac{|\sin[(2N + 1)\pi x]|}{\pi x}dx \\ &\geq C\sum_{i = 0}^{N - 1}\int_{\frac{i}{2N + 1}}^{\frac{i + 1}{2N + 1}} \frac{|\sin[(2N + 1)\pi x]|}{\frac{i + 1}{2N + 1}}dx \\ &= C\sum_{i = 0}^{N - 1} \frac{1}{i + 1} \geq C\ln N, \end{split}\end{equation*}$
所以 $D_N$ 的 $L^1$ 范数等价于 $\ln N$

Fejér核

Fejér核为
$K_N(x) = \frac 1N\sum_{n = 0}^{N - 1} D_n(x).$
它与 $f$ 的卷积为Cesàro和， $K_N * f = \frac 1N\sum_{n = 0}^{N - 1} S_nf$
Fejér核的不同形式
$K_N(x) = \frac 1N\frac{\sum_{n = 0}^{N - 1} \sin[(2n + 1)\pi x]}{\sin(\pi x)} = \frac 1N\bigg[\frac{\sin(N\pi x)}{sin(\pi x)}\bigg]^2.$
由Dirichlet核可知，
$\int_\mathbb{T} K_N(x)dx = \frac 1N\sum_{n = 0}^{N - 1}\int_\mathbb{T} D_n(x)dx = 1.$
因为 $K_N \geq 0$ ，所以 $K_N$ 的 $L^1$ 范数为1

Fourier级数的 $C^0$ 收敛

如果，那么
$||K_N * f - f||_\infty \to 0 \text{ as } N \to \infty.$
- 注意到
  $|(K_N * f)(x) - f(x)| \leq \bigg(\int_{|y| < \delta} + \int_{|y| \geq \delta}\bigg) |f(x - y) - f(x)||K_N(y)|dy.$
  对于 $|y| < \delta$ 的积分，利用 $f$ 的一致连续性，
  $\int_{|y| < \delta} \leq \sup_{x \in \mathbb{T}}\sup_{|y| < \delta} |f(x - y) - f(x)| \cdot ||K_N||_1 < \epsilon.$
  对于 $|y| \geq \delta$ 的积分，
  $\int_{|y| \geq \delta} \leq C||f||_\infty \cdot \int_{\delta}^{\frac 12} N^{-1}y^{-2}dy \to 0 \text{ as } N \to \infty.$
- 上述证明不能用于 $D_N$ ，原因是
  $||D_N||_1 \geq C\ln N \to +\infty \text{ as } N \to \infty.$
  因此，我们需要提高 $f$ 的正则性
如果，，那么
$||D_N * f - f||_\infty \to 0 \text{ as } N \to \infty.$
- 首先，将 $||D_N * f - f||_\infty$ 转换为 $||K_N * f - f||_\infty$ 。由于 $D_N * K_N = K_N$ ，故
  $D_N * f - f = (D_N * f - D_N * K_N * f) + (K_N * f - f),$
  $||D_N * f - f||_\infty \leq (|D_N||_1 + 1)||K_N * f - f||_\infty.$
- 然后，更加精细地控制 $||K_N * f - f||_\infty$ 。利用 $f$ 的Hölder连续性， $|(K_N * f)(x) - f(x)|$ 可以被如下积分控制
  $C\int_0^{\frac 1N} [f]_\alpha y^\alpha \cdot Ndy + C\int_{\frac 1N}^{\frac 12} [f]_\alpha y^\alpha \cdot N^{-1}y^{-2}dy,$
  而积分的结果可以被 $C(N^{-\alpha} + N^{-1} + N^{-1}\ln N)$ 控制（需要注意 $\alpha = 1$ 的情形）。因此，当 $N \to \infty$ 时，
  $||D_N * f - f||_\infty \leq C(\ln N + 1)(N^{-\alpha} + N^{-1} + N^{-1}\ln N) \to 0.$