三角剖分和单纯复形

从三角形到单纯形

由三角剖分的算法可知，我们可以将复杂的多边形，剖分为简单的三角形
点由1个顶点确定，线段由2个顶点确定，三角形由3个顶点确定，四面体由4个顶点确定。一般地，-单纯形由个顶点确定，记为
$[v_0, \ldots, v_n].$
- 对于三角形 $[v_0, v_1, v_2]$ ，位于线段 $[v_0, v_1]$ 上的点可以表示为
  $v_0 + \lambda(v_1 - v_0) = (1 - \lambda)v_0 + \lambda v_1,\; \lambda \in [0, 1].$
  这里，系数相加为1的线性组合，称为仿射组合（对应于直线）；系数相加为1，并且系数位于0、1之间的线性组合，称为凸组合（对应于线段）
- 为了构成一个三角形，任意一个顶点不能等于其他顶点的仿射组合，这称为仿射无关，它可以描述为
  $\sum_i \lambda_iv_i = 0,\; \sum_i \lambda_i = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0.$
  因此， $v_0$ 、 $v_1$ 、 $v_2$ 仿射无关，等价于 $v_1 - v_0$ 、 $v_2 - v_0$ 线性无关。进一步，类似于 $v_0$ 、 $v_1$ 的凸组合构成线段， $v_0$ 、 $v_1$ 、 $v_2$ 的凸组合构成三角形
通常，我们需要固定一个标准 $n$ -单形。比如， $\mathbb{R}^3$ 上的标准单位正交基为
$e_0 = (1, 0, 0),\; e_1 = (0, 1, 0),\; e_2 = (0, 0, 1).$
它们的仿射组合构成平面，它们的凸组合构成平面上的三角形
一般地， $\mathbb{R}^{n + 1}$ 上的标准单位正交基为 $e_i$ ， $0 \leq i \leq n$ 。那么，标准 $n$ -单形为
$\Delta^n = [e_0, \ldots, e_n].$
在固定了一个标准 $n$ -单形之后，任意一个 $n$ -单纯形都与之同胚，
$[v_0, \ldots, v_n] \to [e_0, \ldots, e_n],\; \sum_i \lambda_iv_i \mapsto \sum_i \lambda_ie_i,$
其中， $\lambda_i$ 称为重心坐标
单纯复形是一族单纯形
- 如果 $s \in \mathscr{K}$ ，那么 $s$ 的面 $s' \in \mathscr{K}$
- 如果 $s$ 、 $t \in \mathscr{K}$ ，那么 $s \cap t$ 为空集，或者为 $s$ 、 $t$ 的面

三角剖分、多面体细分

点位形（Point Configuration）为
$A = \{ a_1, \ldots, a_n \},$
其中， $a_i \in \mathbb{R}^d$ 可以是重合的点
三角剖分（Triangulation）为一个单纯复形
- $\mathscr{T}$ 的顶点为 $A$ ，即 $vert(\mathscr{T}) = A$
- $\mathscr{T}$ 的几何实现为 $convex(A)$ ，即 $|\mathscr{T}| = conv(A)$