佚名

从局部到整体

隐函数定理

  • 我们利用逆映射定理，得到隐函数定理
    • 逆映射定理求解显式方程

          \[ y = f(x). \]

    • 隐函数定理求解隐式方程

          \[ f(x, y) = 0. \]

  • 设U \subset \mathbb R^n \times \mathbb{R}^m为开集，(a, b) \in U
  • （隐函数定理）如果f: U \to \mathbb{R}^n为C^r映射，1 \leq r \leq \infty，如下的隐式方程在(a, b)处成立

        \[ f(x, y) = 0, \]

    并且D_xf(a, b)可逆，那么隐式方程在(a, b)处局部有C^r显式解，

        \[ f(x, y) = 0 \Rightarrow x = g(y). \]

    显式解g是唯一的，并且隐函数的求导法则为

        \[ Dg(b) = -D_xf(a, b)^{-1} \cdot D_yf(a, b). \]

    • 我们需要寻找a、b的开邻域V、W，以及C^r映射g: W \to V，使得

          \[ V \times W \subset U,\; f(g(y), y) = 0,\; y \in W. \]

      • 令

            \[ F: (x, y) \mapsto (f(x, y), y),\; (x, y) \in U. \]

        那么，F: U \to \mathbb R^n \times \mathbb R^m为C^r映射，并且

            \[ F(a, b) = (0, b),\; DF = \begin{bmatrix}D_xf & D_yf \\ 0 & I_m\end{bmatrix}. \]

        因为

            \[ \det[DF(a, b)] = \det[D_xf(a, b)] \neq 0, \]

        所以由逆映射定理可知，存在(a, b)、(0, b)的开邻域U'、V'，使得

            \[ F|_{U'}: U' \to V' \]

        为C^r微分同胚
      • 取a、b的开邻域V、W，使得

            \[ V \times W \subset U',\; \{0\} \times W \subset V'. \]

        对于G = (F|_{U'})^{-1}，我们记

            \[ G: (0, y) \mapsto (g(y), y),\; y \in W. \]

        由下式可知，C^r显式解为g(y)，

            \[ (0, y) = F \circ G(0, y) = (f(g(y), y), y),\; y \in W. \]

        同时，由于G(0, b) = (a, b)，故g(b) = a。我们可以进一步取W，使得g(W) \subset V。因此，我们找到了想要的g: W \to V
    • 对于g的唯一性，如果\widetilde{g}: W \to V为另一个C^r映射，满足

          \[ f(\widetilde{g}(y), y) = 0, \]

      那么，

          \[ F(\widetilde{g}(y), y) = (0, y) = F(g(y), y). \]

      由于F|_{U'}为单射，故\widetilde{g}(y) = g(y)
    • 对于隐函数的求导法则，将f(g(y), y) = 0在b处对y求导，

          \[ 0 = Df(a, b) \cdot \begin{bmatrix} Dg(b) \\ I_m \end{bmatrix} = D_xf(a, b) \cdot Dg(b) + D_yf(a, b). \]

      因此，Dg(b) = -D_xf(a, b)^{-1} \cdot D_yf(a, b)

从局部到整体

  • 在计算机图形学中，\mathbb{R}^3中的曲面M可以用隐式方程来描述。比如，2维球面S^2为

        \[ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0. \]

  • （局部坐标邻域）对于x坐标，我们定义局部坐标邻域

        \begin{equation*}\begin{split} U_1 &= \{ (x, y, z) \in S^2 : x > 0 \}, \\ U_2 &= \{ (x, y, z) \in S^2 : x < 0 \}. \end{split}\end{equation*}

    对于y坐标，我们有U_3、U_4；对于z坐标，我们有U_5、U_6。因此，

        \[ S^2 = \cup_i U_i. \]

  • （局部坐标映射）注意到

        \[ D_xf(x, y, z) = 2x \neq 0,\; (x, y, z) \in U_1, U_2. \]

    由隐函数定理，我们可以在U_1、U_2上求解隐式方程，即

        \begin{equation*}\begin{split} x &= \sqrt{1 - y^2 - z^2},\; (x, y, z) \in U_1, \\ x &= -\sqrt{1 - y^2 - z^2},\; (x, y, z) \in U_2. \end{split}\end{equation*}

    因为x坐标是冗余的，所以2维坐标(y, z)即可在局部描述S^2。局部坐标映射为

        \[ \varphi_i: U_i \subset S^2 \to \varphi_i(U_i) \subset \mathbb{R}^2,\; (x, y, z) \mapsto (y, z),\; i = 1, 2. \]

    对于y坐标，我们有\varphi_3、\varphi_4；对于z坐标，我们有\varphi_5、\varphi_6
  • （转移映射）尽管单个坐标卡(U_i, \varphi_i)只能在局部描述S^2，然而整个坐标图册\{ (U_i, \varphi_i) \}可以在整体描述S^2
    • 坐标图册源于地图学。世界地图（基本上）给出了S^2的坐标图册——在低纬度取一个坐标卡、在北极、南极附近分别取一个坐标卡，然后将它们粘贴在一起
    • 粘贴即坐标卡之间的对应关系，它可以用转移映射来描述。比如，从U_1到U_3的转移映射为

          \[ \varphi_3 \circ \varphi_1^{-1}(y, z) = \varphi_3(\sqrt{1 - y^2 - z^2}, y, z) = (\sqrt{1 - y^2 - z^2}, z). \]

      注意，\varphi_3 \circ \varphi_1^{-1}为C^\infty映射，其他的转移映射也是类似的。因此，我们称S^2为2维C^\infty流形（Manifold）

在不同的域上求解方程

  • 隐式方程

        \[ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 \]

    还是一个代数方程。如果求解代数方程，那么我们可以得到代数簇（Algebraic Variety）
  • 我们也可以在实数域\mathbb{R}之外求解代数方程。如果在复数域\mathbb{C}上求解代数方程，那么我们可以得到复代数簇。进一步，如果代数方程满足隐函数定理中的非退化条件，那么我们可以得到复流形
  • 在计算理论中（比如Hilbert第10问题），我们考虑整数\mathbb{Z}上的代数方程，即Diophantus方程。如果求解Diophantus方程，那么我们可以得到有理数域\mathbb{Q}上的代数簇
  • 在编码理论中，我们考虑有限域\mathbb{F}_q上的代数方程。如果求解有限域\mathbb{F}_q上的代数方程，那么我们可以得到有限域\mathbb{F}_q上的代数簇
  • \mathbb{R}、\mathbb{C}对应于几何，\mathbb{Q}、\mathbb{F}_q对应于算术
    • 如果在\mathbb{R}、\mathbb{C}上建立实、复分析，那么我们可以得到微分流形、复流形。这对应于微分几何、复几何
    • 然而，在\mathbb{Q}、\mathbb{F}_q上，我们难以建立分析。如果只利用代数，将几何移植到算术上，那么我们可以得到概形（Scheme）。这对应于代数几何、算术几何