四元数的定义
- 关于伴随矩阵、行列式,可参见从线性方程出发
- 四元数的集合为
- 对任意
,它的共轭为
,它的模长为
为有单位元素的、结合的
-代数
- 由数值线性代数可知,
为有单位元素的、结合的
-代数。然而,我们只能得到
为
的
-子代数
- 首先,
。其次,对任意
、
必须为实数,所以
是
-代数,但不是
-代数
- 由数值线性代数可知,
为可除代数
- 对任意
,我们有
。因此,
不是可除代数(存在非零、不可逆的矩阵),但
是可除代数
- 对任意
四元数的另一种定义
- 设
、
,
、
、
、
。那么,
- 由上述可知,
,并且我们可以将
-基底重命名为
- 对于四元数的共轭,
模长为1的四元数
- 模长为1的四元数,两种视角
- 将
视为
- 模长为1的四元数 –> 3维球面
- 模长为1的四元数 –> 3维球面
- 将
视为
的矩阵
- 模长为1的四元数 –>
- 模长为1的四元数 –>
- 将
- 对于
的矩阵,
、
的两种情形是类似的
- 对于
,我们有
,
,即
- 由于
,故
的情形是类似的,我们可以用
来求解
- 由于
,
,故
- 由此可知,
,
,
,可得
为绕原点的旋转,从而
- 由于
- 对于
,我们有
,
,即
- 由于
,故
的情形是类似的,我们可以用
来求解
- 由于
,
,故
- 由此可知,
,
,
,可得
为模长为1的四元数,从而
- 由于
- 对于