佚名

量子化的物质波

电磁波

  • 关于电磁波，可参见Maxwell方程组。关于时频分析，可参见频率响应和采样率
  • 电磁波满足波动方程

        \[ \frac{1}{c^2}\partial_{tt}\psi = \Delta\psi. \]

    按照时频分析的观点，我们尝试分离出角频率\psi(r, t) = \psi(r)e^{-i\omega t}，然后求解齐次Helmholtz方程

        \[ \Delta\psi + \frac{\omega^2}{c^2}\psi = 0. \]

  • 不同于时频分析，我们使用如下形式的Fourier变换、Fourier逆变换

        \begin{equation*}\begin{split} \Psi(k) &= \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \psi(r)e^{-ik \cdot r}dr, \\ \psi(r) &= \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \Psi(k)e^{ik \cdot r}dk. \end{split}\end{equation*}

    因此，

        \[ \bigg(-|k|^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\bigg)\Psi = 0. \]

  • \Psi几乎为0，不过不包括|k| = \frac{\omega}{c}的点，所以我们尝试取一个解

        \[ \Psi(k) = \delta(k - k_0),\; |k_0| = \frac{\omega}{c}, \]

        \[ \psi(r, t) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}e^{ik_0 \cdot r}e^{-i\omega t} = \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}e^{i(k_0 \cdot r - \omega t)}. \]

    这对应于平面波的解，原因是对于任意时刻t，波前为等势面k_0 \cdot r - \omega t = const，这是一个平面。随着t增加，k_0 \cdot r也增加，所以传播方向为k_0
  • 将平面波线性叠加，可得

        \[ \psi(r, t) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \Psi(k)e^{i(k \cdot r - \omega t)}dk, \]

    其中，色散关系为

        \[ \omega(k) = c|k|. \]

导出Schrödinger方程

  • 为了得到量子化的物质波，我们使用Einstein光电效应方程E = \hbar\omega，以及de Broglie物质波方程p = \hbar k，从而

        \[ \hbar\omega = E = \frac{|p|^2}{2m} = \frac{\hbar^2|k|^2}{2m}. \]

    因此，色散关系为

        \[ \omega(k) = \frac{\hbar|k|^2}{2m}. \]

  • 由此可得，

        \[ \psi(r, t) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \Psi(k)e^{i(k \cdot r - \frac{\hbar|k|^2}{2m}t)}dk. \]

    故波函数\psi满足Schrödinger方程

        \[ \partial_t\psi = \frac{-i\hbar|k|^2}{2m}\frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \Psi(k)e^{i(k \cdot r - \frac{\hbar |k|^2}{2m}t)}dk = \frac{i\hbar}{2m}\Delta\psi. \]

  • 波动方程的色散关系为1次的，而Schrödinger方程的色散关系为2次的，所以前者需要时间的2阶导数，而后者只需要时间的1阶导数。在使用Fourier变换求解PDE中，Schrödinger方程和热方程具有相同的解法，并且形式上更加接近这里使用的Fourier变换

波函数和粒子

  • 当\Psi(k)只在|k - k_0| << 1范围内非零时，我们认为波函数\psi(r, t)接近于粒子
  • 计算扰动

        \begin{equation*}\begin{split} \frac{\hbar|k - k_0|^2}{2m} &= \frac{\hbar(|k|^2 - 2k \cdot k_0 + |k_0|^2)}{2m} \\ &= \omega(k) - \frac{\hbar k \cdot k_0}{m} + \frac{\hbar|k_0|^2}{2m}. \end{split}\end{equation*}

  • 如果我们忽略|k - k_0|的二阶项，那么

        \begin{equation*}\begin{split} \psi(r, t) &= \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \Psi(k)e^{i[k \cdot r - \omega(k)t]}dk \\ &\approx \frac{1}{(2\pi)^{\frac 32}}\int_{\mathbb{R}^3} \Psi(k)e^{i[k \cdot (r - \frac{\hbar k_0}{m}t) + \frac{\hbar|k_0|^2}{2m}t]}dk \\ &= e^{i\frac{\hbar|k_0|^2}{2m}t}\psi\bigg(r - \frac{\hbar k_0}{m}t, 0\bigg). \end{split}\end{equation*}

    因此，|\psi(r, t)|^2保持不变，粒子的速度为v_0 = \frac{\hbar k_0}{m} = \frac{p_0}{m}