矩阵群 – 佚名

基本的矩阵群

在从线性方程出发中，我们有可逆矩阵。在数值线性代数中，我们有正交矩阵、酉矩阵
设矩阵的集合为，其中
- 可逆矩阵的集合为一般线性群
  $GL_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) : \det(g) \neq 0 \}.$
  进一步，令行列式为1，可得特殊线性群
  $SL_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) : \det(g) = 1 \}.$
- 正交矩阵的集合为正交群
  $O_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) : gg^T = I \}.$
  进一步，令行列式为1，可得特殊正交群
  $SO_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) : gg^T = I,\; \det(g) = 1 \}.$
- 酉矩阵的集合为酉群
  $U_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) : gg^* = I \}.$
  进一步，令行列式为1，可得特殊酉群
  $SU_n(\mathbb{K}) = \{ g \in M_n(\mathbb{K}) : gg^* = I,\; \det(g) = 1 \}.$
矩阵群之间的关系
- $GL_n(\mathbb{K})$ 、 $SL_n(\mathbb{K})$ 的行列式相差的倍数为 $\epsilon \neq 0$ ，故
  $GL_n(\mathbb{K}) / SL_n(\mathbb{K}) \cong \mathbb{K} - \{ 0 \},$
  其中，商群的等价类为
  $g \cdot SL_n(\mathbb{K}), \text{ where } g = \begin{bmatrix}\epsilon & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{bmatrix},\; \epsilon \neq 0.$
- $O_n(\mathbb{R})$ 、 $SO_n(\mathbb{R})$ 的行列式相差的倍数为 $\epsilon = \pm 1$ ，故
  $O_n(\mathbb{R}) / SO_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}_2,$
  其中，商群的等价类为
  $g \cdot SO_n(\mathbb{R}), \text{ where } g = \begin{bmatrix}\epsilon & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{bmatrix},\; \epsilon = \pm 1.$
- $U_n(\mathbb{C})$ 、 $SU_n(\mathbb{C})$ 的行列式相差的倍数为 $\epsilon = e^{i\theta}$ ，故
  $U_n(\mathbb{C}) / SU_n(\mathbb{C}) \cong S^1,$
  其中，商群的等价类为
  $g \cdot SU_n(\mathbb{C}), \text{ where } g = \begin{bmatrix}\epsilon & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{bmatrix},\; \epsilon = e^{i\theta}.$
上面的群有些是重复的，
$O_n(\mathbb{R}) = U_n(\mathbb{R}),\; SO_n(\mathbb{R}) = SU_n(\mathbb{R}).$
不过，
$O_n(\mathbb{C}) \neq U_n(\mathbb{C}),\; SO_n(\mathbb{C}) \neq SU_n(\mathbb{C}).$
在不同的地方，矩阵群的记号有不同的形式，比如
$O_n(\mathbb{R}) = O(n, \mathbb{R}) = O(n),\; SO_n(\mathbb{R}) = SO(n, \mathbb{R}) = SO(n),$
$U_n(\mathbb{C}) = U(n, \mathbb{C}) = U(n),\; SU_n(\mathbb{C}) = SU(n, \mathbb{C}) = SU(n).$

保持形式的群

在数值线性代数中，我们有双线性形式、内积、实对称矩阵、Hermite矩阵
上的双线性形式为
$\beta(x, y) = x^TBy.$
- 更换一组基底对应于合同变换， $B$ 可以化归为对角矩阵 $\Lambda$
- 在复数域上，我们可以对复数开平方根，所以 $\Lambda$ 的元素可以化归为0、1（在实数域上，我们只能对非负实数开平方根，所以 $\Lambda$ 的元素可以化归为0、1、-1。只包含1 –> 正定，只包含1、0 –> 半正定，只包含-1 –> 负定，只包含-1、0 –> 半负定，同时包含1、-1 –> 不定）
保持双线性形式（对应的二次型）的群为
$Aut(\mathbb{K}^n, \beta) = \{ g \in GL_n(\mathbb{K}) : g^TBg = B \}.$
- （对称）不定正交群为
  $O_{p, q}(\mathbb{K}) = Aut(\mathbb{K}^{p + q}, \beta),\; B = \begin{bmatrix}I_p & 0 \\ 0 & -I_q\end{bmatrix}.$
- （反对称）辛群为
  $Sp_{2n}(\mathbb{K}) = Aut(\mathbb{K}^{2n}, \beta),\; B = \begin{bmatrix}0 & I_n \\ -I_n & 0\end{bmatrix}.$
类似于双线性形式，我们也可以考虑内积。此时，、的情形是不同的
- （双线性） $\mathbb{R}^n$ 上的内积为
  $\langle{x, y}\rangle_{\mathbb{R}^n} = x^Ty.$
  $\mathbb{R}^n$ 上的对称、双线性形式对应于实对称矩阵
  $\beta(x, y) = x^TBy, \text{ where } B^T = B.$
  因为 $\mathbb{R}^n$ 上的内积是双线性形式，所以保持对称、双线性形式（对应的二次型）的群化归为上面的情形
- （线性-共轭线性） $\mathbb{C}^n$ 上的内积为
  $\langle{x, y}\rangle_{\mathbb{C}^n} = x^T\overline{y}.$
  $\mathbb{C}^n$ 上的Hermite形式对应于Hermite矩阵
  $\beta(x, y) = x^TB\overline{y}, \text{ where } B^* = B.$
  因为 $\mathbb{C}^n$ 上的内积不是双线性形式，所以我们需要考虑保持Hermite形式（对应的共轭二次型）的群
  $Aut(\mathbb{C}^n, \beta) = \{ g \in GL_n(\mathbb{C}) : g^TB\overline{g} = B \}.$
  不定酉群为
  $U_{p, q}(\mathbb{C}) = Aut(\mathbb{C}^{p + q}, \beta),\; B = \begin{bmatrix}I_p & 0 \\ 0 & -I_q\end{bmatrix}.$

半直积构成的群

设、为群，为群同态
- 半直积 $N \rtimes_\varphi H$ 上的乘法定义为
  $(n, h) \cdot (n', h') = (n \cdot \varphi(h)n', h \cdot h'),\; n, n' \in N,\; h, h' \in H.$
- 群同态 $\varphi$ 等价于 $H$ 在 $N$ 上的左作用，所以我们通常可以省略 $\varphi$
关于乘法构成一个群
- 单位元为 $(1_N, 1_H)$ 。逆元由如下等式得到，
  $\begin{equation*}\begin{split} (n, h) \cdot (\varphi(h^{-1})n^{-1}, h^{-1}) &= (n \cdot \varphi(h)\varphi(h^{-1})n^{-1}, h \cdot h^{-1}) \\ &= (1_N, 1_H), \\ (\varphi(h^{-1})n^{-1}, h^{-1}) \cdot (n, h) &= (\varphi(h^{-1})n^{-1} \cdot \varphi(h^{-1})n, h^{-1} \cdot h) \\ &= (1_N, 1_H). \end{split}\end{equation*}$
- 结合律由如下等式得到，
  $\begin{equation*}\begin{split} &\mathrel{\phantom{=}} [(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2)] \cdot (n_3, h_3) \\ &= (n_1 \cdot \varphi(h_1)n_2, h_1 \cdot h_2) \cdot (n_3, h_3) \\ &= (n_1 \cdot \varphi(h_1)n_2 \cdot \varphi(h_1 \cdot h_2)n_3, h_1 \cdot h_2 \cdot h_3) \\ &= (n_1 \cdot \varphi(h_1)[n_2 \cdot \varphi(h_2)n_3], h_1 \cdot h_2 \cdot h_3) \\ &= (n_1, h_1) \cdot (n_2 \cdot \varphi(h_2)n_3, h_2 \cdot h_3) \\ &= (n_1, h_1) \cdot [(n_2, h_2) \cdot (n_3, h_3)]. \end{split}\end{equation*}$
在计算机图形学中，我们有仿射变换、刚体变换。可参见计算机图形学的几何变换
- 仿射变换为
  $f(x) = Ax + b,\; A \in GL_n(\mathbb{R}),\; b \in \mathbb{R}^n.$
  仿射变换的复合为
  $\begin{equation*}\begin{split}f_1 \circ f_2(x) &= A_1(A_2x + b_2) + b_1 \\ &= A_1A_2x + A_1b_2 + b_1.\end{split}\end{equation*}$
- 因此，仿射变换群为 $\mathbb{R}^n \rtimes GL_n(\mathbb{R})$ ，其中
  $(b_1, A_1) \cdot (b_2, A_2) = (b_1 + A_1b_2, A_1A_2).$
  也就是说，仿射变换群可以分解为一个平移部分、一个可逆的线性变换部分
- 类似地，Euclid群为
  $E_n(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^n \rtimes O_n(\mathbb{R}).$
  进一步，刚体变换群为特殊Euclid群
  $SE_n(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^n \rtimes SO_n(\mathbb{R}).$
在经典力学中，我们有Galileo变换；在狭义相对论中，我们有Poincaré变换。可参见Lagrange力学
- 经典力学中的Galileo变换
  - 如果坐标系更换一组单位正交基，那么物理规律不变，对应的Galileo变换为
    $f(r, t) = (Rr, t),\; R \in O_3(\mathbb{R}).$
    如果坐标系相对于另一个坐标系作匀速直线运动，那么物理规律不变，对应的Galileo变换为
    $f(r, t) = (r + vt, t),\; v \in \mathbb{R}^3.$
    考虑上述2种Galileo变换，变换的复合为
    $\begin{equation*}\begin{split}f_1 \circ f_2(r, t) &= (R_1(R_2r + v_2t) + v_1t, t) \\ &= (R_1R_2r + (R_1v_2 + v_1)t, t).\end{split}\end{equation*}$
  - 因此，在Galileo变换群中，可逆的线性变换部分为Euclid群 $E_3(\mathbb{R})$ 。如果再加上空间平移、时间平移
    $f(r, t) = (r + r_0, t + t_0),\; r_0 \in \mathbb{R}^3,\; t_0 \in \mathbb{R},$
    那么Galileo变换群为 $\mathbb{R}^4 \rtimes E_3(\mathbb{R})$
- 狭义相对论中的Poincaré变换
  - 光速不变的方程为（假设光速为1）
    $dr^2 - dt^2 = 0.$
    这是一个对称、双线性形式（对应的二次型），Poincaré变换保持它不变
  - 因此，在Poincaré变换群中，可逆的线性变换部分为Lorentz群 $O_{3, 1}(\mathbb{R})$ 。如果再加上空间平移、时间平移，那么Poincaré变换群为 $\mathbb{R}^4 \rtimes O_{3, 1}(\mathbb{R})$
- 由上述可知，物理规律和对称性有关，并且对称性可以用群来刻画。在经典力学中，Galileo变换群对应的空间、时间是独立的；在狭义相对论中，Poincaré变换群对应的空间、时间是不独立的