流形上的运动学

刚体运动的例子

关于刚体变换群，可参见计算机图形学的几何变换
刚体运动可以视为刚体变换群中的元素
$SE(3, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^3 \rtimes SO(3, \mathbb{R}).$
也就是说，多个刚体运动的位形空间（Configuration Space）可以视为的子流形，其维数称为自由度（Degree of Freedom，DOF）
- 平面单摆运动为 $\mathbb{R}^2$ 上的旋转。由四元数可知，位形空间为1维圆环
  $SO(2, \mathbb{R}) \cong S^1.$
  进一步，多个平面单摆运动的位形空间为 $n$ 维环面
  $\mathbb{T}^n \cong (S^1)^n.$
- 空间单摆运动为 $\mathbb{R}^3$ 上的旋转商掉稳定子群。由自旋群可知，位形空间为2维球面
  $SO(3, \mathbb{R}) / SO(2, \mathbb{R}) \cong S^2.$
  进一步，多个空间单摆运动的位形空间为 $n$ 个2维球面的乘积
  $(S^2)^n.$
- 刚体旋转为 $\mathbb{R}^3$ 上的旋转。由自旋群可知，位形空间为3维实射影空间
  $SO(3, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}P^3.$
  进一步，刚体自由运动的位形空间为 $SE(3, \mathbb{R})$
因此，平面单摆运动的自由度为1、空间单摆运动的自由度为2、刚体旋转的自由度为3、刚体自由运动的自由度为6

Lagrangian和Hamiltonian

关于Lagrangian，可参见Lagrange力学。关于Hamiltonian，可参见Hamilton方程
几何视角
- Lagrangian –> 流形上的切丛
- Hamiltonian –> 流形上的余切丛