有限域的阶

参考资料：Lectures on Finite Fields

有限域

设 $F$ 为有限域。那么，我们有环同态
$f: \mathbb{Z} \to F,\; n \to n1_F.$
因此，我们有环嵌入 $\mathbb{Z} / kerf \hookrightarrow F$ ，从而 $\mathbb{Z} / kerf$ 为整环（ $F$ 中没有零因子）。由此可知，
$kerf = p\mathbb{Z},\; \mathbb{Z} / kerf = \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} = \mathbb{F}_p,$
其中， $p$ 为素数， $\mathbb{F}_p$ 为 $p$ 阶有限域
我们也称 $F$ 的特征为 $p$ ，记为 $char F = p$ 。也就是说，在特征为 $p$ 的域中， $p$ 的倍数等于0
对于域扩张 $\mathbb{F}_p \subset F$ ，设 $[F : \mathbb{F}_p] = r$ 。那么， $F$ 中的元素可以表示为
$x_1e_1 + \cdots + x_re_r,\; x_i \in \mathbb{F}_p,$
其中， $\{ e_1, \ldots, e_r \}$ 为 $F$ 的一组 $\mathbb{F}_p$ -基底。因此， $|F| = p^r$

由上面的笔记可知，有限域的阶为。反过来，对任意，存在一个有限域，它的阶为
- 我们取 $\mathbb{F}_p$ 的代数闭包 $\overline{\mathbb{F}_p}$ ，然后考察如下多项式的所有零点，
  $P(X) = X^q - X \in \mathbb{F}_p[X].$
- 由于
  $(P, P') = (X^q - X, qX^{q - 1} - 1) = (X^q - X, -1) = 1,$
  故 $P$ 没有重因式，我们可以得到 $q$ 个不同的零点
  $F = \{ \alpha_1, \ldots, \alpha_q \} \subset \overline{\mathbb{F}_p}.$
- 我们只需证明 $F$ 为一个域，下面以加法为例（减法、乘法、除法是类似的）。注意到
  $(\alpha_i + \alpha_j)^p = \alpha_i^p + \alpha_j^p.$
  这里，我们用到了 $p$ 整除二项式系数 $\binom{p}{k}$ ， $1 \leq k \leq p - 1$ 。迭代 $r$ 次，可得
  $(\alpha_i + \alpha_j)^q = \alpha_i^q + \alpha_j^q = \alpha_i + \alpha_j.$
  因此， $\alpha_i + \alpha_j$ 也是 $P$ 的零点， $F$ 在加法下封闭
阶有限域是唯一的，记为，它也叫做Galois域
- 设 $F$ 为 $q$ 阶有限域。那么， $(F - \{ 0 \}, \times)$ 为一个群。由Lagrange定理可知， $x \in F - \{ 0 \}$ 生成的子群的阶整除 $q - 1$ ，从而
  $x^{q - 1} = 1,\; x \in F - \{ 0 \}.$
- 也就是说， $F$ 的所有元素为 $P$ 的所有零点，这对应于分裂域。分裂域在同构的意义下是唯一的，上面构造的是分裂域的一个实例