域扩张的定义
- 关于一般的域上的线性空间,可参见数值线性代数
- 如果
为
的子域,那么
称为
的扩张。因为
是一个
-线性空间,所以我们可以定义
在
上的次数为
- 我们有
为
的
-基底,
为
的
-基底。我们只需证明
为
的
-基底
是
-线性无关的。原因是
可以生成
。原因是对任意
,
代数元素
- 如果
为
中某个非零多项式的根,那么
称为
上的代数元素
- 极小多项式
- 定义
为非零理想
- 取
中一个次数最低的非零多项式
。因为
可以进行带余除法,所以
中的多项式都可以被
整除。将
化为首一多项式,那么
还是唯一的
称为
的极小多项式,
称为
在
上的次数
- 定义
- 极小多项式的性质
是不可约的,否则
可以分解出一个次数更低的多项式
- 如果
,
,那么
不能被
整除,从而
、
互素。由Bézout定理,存在
、
,使得
,
- 单个代数元素
生成的扩张
- 多项式环
对应于
,分式域
对应于
。由极小多项式的性质,
中的分母(不为零)在
中是可逆的,所以
- 我们有
是
-线性无关的。否则,
为次数更低的非零多项式的零点,
可以生成
。原因是对任意
,
,进行带余除法,
- 多项式环
- 多个代数元素
生成的扩张
- 多项式环
对应于
,分式域
对应于
,原因是分式域具有极小性
,原因是
中的多项式可以视为关于
的多项式,其系数为
的多项式。由数学归纳法,
- 由单个代数元素的结果,
- 多项式环
代数扩张
- 如果
中的元素都是
上的代数元素,那么
称为
上的代数扩张
- 如果
有限,那么
为
上的代数扩张
- 设
。那么,对任意
,
包含
个元素,从而是
-线性相关的。因此,
为非零多项式的零点,
- 设
- 多个代数元素
生成的扩张是代数扩张
- 注意到
为
在
上的极小多项式。因此,
有限,
为
上的代数扩张
- 注意到
- 由此可知,如果
、
为
上的代数元素,那么
为
上的代数扩张。因此
、
、
、
都为
上的代数元素,即代数元素关于四则运算封闭
代数闭包
- 在上面的讨论中,我们淡化了
的作用。我们可以得到,对于
,
上包含在
中的代数元素构成一个域,但是
可能太小,不足以找到
上所有的代数元素
- 比如对于有理数域和实数域
,
上包含在
中的代数元素构成一个域
。
可以找到类似于
这样的代数元素(
),但是不足以找到类似于
这样的代数元素(
)
- 一种办法是使用更大的复数域
。由复数域上的分析中的代数基本定理,在
中可以找到
中多项式的所有零点,具有这种性质的域称为代数封闭的域。此时,
上包含在
中的代数元素构成一个域
。我们有
是代数扩张,但不是代数封闭的;
是代数封闭的,但不是代数扩张(比如存在超越数)
- 只有
既是代数扩张,又是代数封闭的。由定义可知,
是代数扩张。对于代数封闭,设
为如下多项式的零点,
,那么,
是
上的代数元素,
- 对于一般的域
,代数封闭的代数扩张
称为代数闭包。代数闭包的存在性不是一个平凡的结果,不过我们可以先使用它