域扩张 – 佚名

参考资料：Galois Theory

域扩张的定义

关于一般的域上的线性空间，可参见数值线性代数
如果 $K$ 为 $L$ 的子域，那么 $L$ 称为 $K$ 的扩张。因为 $L$ 是一个 $K$ -线性空间，所以我们可以定义 $L$ 在 $K$ 上的次数为
$[L : K] = dim_KL.$
我们有
$[M : K] = [M : L][L : K].$
设为的-基底，为的-基底。我们只需证明为的-基底
- $\{ l_jm_i \}$ 是 $K$ -线性无关的。原因是
  $\sum_{i, j} k_{ij}l_jm_i = 0,\; k_{ij} \in K \Rightarrow \sum_{j} k_{ij}l_j = 0,\; k_{ij} = 0.$
- $\{ l_jm_i \}$ 可以生成 $M$ 。原因是对任意 $m \in M$ ，
  $m = \sum_i l_i'm_i = \sum_{i, j} k_{ij}l_jm_i,\; l_i' \in L,\; k_{ij} \in K.$

代数元素

如果 $a \in L$ 为 $K[X]$ 中某个非零多项式的根，那么 $a$ 称为 $K$ 上的代数元素
极小多项式
- 定义
  $I = \{ P \in K[X] : P(a) = 0 \}.$
  那么， $I$ 为非零理想
- 取 $I$ 中一个次数最低的非零多项式 $P$ 。因为 $K[X]$ 可以进行带余除法，所以 $I$ 中的多项式都可以被 $P$ 整除。将 $P$ 化为首一多项式，那么 $P$ 还是唯一的
- $P$ 称为 $a$ 的极小多项式， $deg(P)$ 称为 $a$ 在 $K$ 上的次数
极小多项式的性质
- $P$ 是不可约的，否则 $P$ 可以分解出一个次数更低的多项式
- 如果 $Q \in K[X]$ ， $Q(a) \neq 0$ ，那么 $Q$ 不能被 $P$ 整除，从而 $P$ 、 $Q$ 互素。由Bézout定理，存在 $U$ 、 $V \in K[X]$ ，使得
  $PU + QV = 1.$
  因此， $Q(a)V(a) = 1$ ， $Q(a)^{-1} = V(a)$
单个代数元素生成的扩张
- 多项式环 $K[X]$ 对应于 $K[a]$ ，分式域 $K(X)$ 对应于 $K(a)$ 。由极小多项式的性质， $K(a)$ 中的分母（不为零）在 $K[a]$ 中是可逆的，所以 $K[a] = K(a)$
- 我们有
  $[K[a] : K] = deg(P).$
  设
  - $\{ a^i : 0 \leq i \leq n - 1 \}$ 是 $K$ -线性无关的。否则， $a$ 为次数更低的非零多项式的零点，
    $\sum_{i = 0}^{n - 1} k_ia^i = 0,\; k_i \in K.$
  - $\{ a^i : 0 \leq i \leq n - 1 \}$ 可以生成 $K[a]$ 。原因是对任意 $S(a) \in K[a]$ ， $S \in K[X]$ ，进行带余除法，
    $S = PT + R,\; 0 \leq deg(R) < n.$
    那么，
    $S(a) = R(a) = \sum_{i = 0}^{n - 1} k_ia^i,\; k_i \in K.$
多个代数元素生成的扩张
- 多项式环 $K[X_1, \ldots, X_n]$ 对应于 $K[a_1, \ldots, a_n]$ ，分式域 $K(X_1, \ldots, X_n)$ 对应于 $K(a_1, \ldots, a_n)$
- $K(a, b) = K(a)(b)$ ，原因是分式域具有极小性
  $K, a, b \subset K(a)(b) \Rightarrow K(a, b) \subset K(a)(b),$
  $K(a), b \subset K(a, b) \Rightarrow K(a)(b) \subset K(a, b).$
  由数学归纳法， $K(a_1, \ldots, a_n) = K(a_1)\cdots(a_n)$
- $K[a, b] = K[a][b]$ ，原因是 $K[a, b]$ 中的多项式可以视为关于 $b$ 的多项式，其系数为 $a$ 的多项式。由数学归纳法， $K[a_1, \ldots, a_n] = K[a_1]\cdots[a_n]$
- 由单个代数元素的结果， $K[a_1, \ldots, a_n] = K(a_1, \ldots, a_n)$

代数扩张

如果 $L$ 中的元素都是 $K$ 上的代数元素，那么 $L$ 称为 $K$ 上的代数扩张
如果有限，那么为上的代数扩张
- 设 $[L : K] = n$ 。那么，对任意 $a \in L$ ， $\{ a^i : 0 \leq i \leq n \}$ 包含 $n + 1$ 个元素，从而是 $K$ -线性相关的。因此， $a$ 为非零多项式的零点，
  $\sum_{i = 0}^n k_ia^i = 0,\; k_i \in K.$
多个代数元素生成的扩张是代数扩张
- 注意到
  $[K[a_1, \ldots, a_n] : K] = \prod_{i = 1}^n [K[a_1, \ldots, a_i] : K[a_1, \ldots, a_{i - 1}]].$
  单个代数元素生成的扩张满足
  $[K[a_1, \ldots, a_i] : K[a_1, \ldots, a_{i - 1}]] \leq [K[a_i] : K] = deg(P_i).$
  其中， $P_i$ 为 $a_i$ 在 $K$ 上的极小多项式。因此， $[K[a_1, \ldots, a_n] : K]$ 有限， $K[a_1, \ldots, a_n]$ 为 $K$ 上的代数扩张
由此可知，如果 $a$ 、 $b$ 为 $K$ 上的代数元素，那么 $K[a, b]$ 为 $K$ 上的代数扩张。因此 $a + b$ 、 $a - b$ 、 $a \cdot b$ 、 $a / b \in K[a, b]$ 都为 $K$ 上的代数元素，即代数元素关于四则运算封闭

代数闭包

在上面的讨论中，我们淡化了 $L$ 的作用。我们可以得到，对于 $K \subset L$ ， $K$ 上包含在 $L$ 中的代数元素构成一个域，但是 $L$ 可能太小，不足以找到 $K$ 上所有的代数元素
比如对于有理数域和实数域 $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ， $\mathbb{Q}$ 上包含在 $\mathbb{R}$ 中的代数元素构成一个域 $\mathbb{Q}_1$ 。 $\mathbb{Q}_1$ 可以找到类似于 $\sqrt{2}$ 这样的代数元素（ $X^2 - 2 = 0$ ），但是不足以找到类似于 $i$ 这样的代数元素（ $X^2 + 1 = 0$ ）
一种办法是使用更大的复数域 $\mathbb{C}$ 。由复数域上的分析中的代数基本定理，在 $\mathbb{C}$ 中可以找到 $\mathbb{C}[X]$ 中多项式的所有零点，具有这种性质的域称为代数封闭的域。此时， $\mathbb{Q}$ 上包含在 $\mathbb{C}$ 中的代数元素构成一个域 $\overline{\mathbb{Q}}$ 。我们有
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_1 \subset \overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}.$
其中， $\mathbb{Q}_1$ 是代数扩张，但不是代数封闭的； $\mathbb{C}$ 是代数封闭的，但不是代数扩张（比如存在超越数）
只有 $\overline{\mathbb{Q}}$ 既是代数扩张，又是代数封闭的。由定义可知， $\overline{\mathbb{Q}}$ 是代数扩张。对于代数封闭，设 $\beta \in \mathbb{C}$ 为如下多项式的零点，
$X^n + \alpha_{n - 1}X^{n - 1} + \cdots \alpha_0,\; \alpha_i \in \overline{\mathbb{Q}}.$
由上面的笔记，令 $K = \mathbb{Q}(\alpha_{n - 1}, \ldots, \alpha_0)$ ，那么，
$[K(\beta) : K] \leq n,\; [K : \mathbb{Q}] < \infty.$
因此，
$[\mathbb{Q}(\beta) : \mathbb{Q}] \leq [K(\beta) : \mathbb{Q}] = [K(\beta) : K][K : \mathbb{Q}] < \infty,$
即 $\beta$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元素， $\beta \in \overline{\mathbb{Q}}$
对于一般的域 $F$ ，代数封闭的代数扩张 $\overline{F}$ 称为代数闭包。代数闭包的存在性不是一个平凡的结果，不过我们可以先使用它