佚名

四元数

四元数的定义

  • 关于伴随矩阵、行列式，可参见从线性方程出发
  • 四元数的集合为

        \[ \mathbb{H} = \bigg\{ \begin{bmatrix}z & -w \\ \overline{w} & \overline{z}\end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{C}) : z, w \in \mathbb{C} \bigg\}. \]

  • 对任意q = \begin{bmatrix}z & -w \\ \overline{w} & \overline{z}\end{bmatrix} \in \mathbb{H}，它的共轭为\overline{q} = \begin{bmatrix}\overline{z} & w \\ -\overline{w} & z\end{bmatrix} \in \mathbb{H}，它的模长为

        \[ |q| = \sqrt{\det\begin{bmatrix}z & -w \\ \overline{w} & \overline{z}\end{bmatrix}} = \sqrt{|z|^2 + |w|^2}. \]

    也就是说，四元数的共轭对应于伴随矩阵，模长的平方对应于行列式。由伴随矩阵、行列式的性质，

        \[ q\overline{q} = \overline{q}q = |q|^2,\; q \in \mathbb{H}, \]

        \[ |q_1q_2| = |q_1||q_2|,\; q_1, q_2 \in \mathbb{H}. \]

  • \mathbb{H}为有单位元素的、结合的\mathbb{R}-代数
    • 由数值线性代数可知，M_2(\mathbb{C})为有单位元素的、结合的\mathbb{C}-代数。然而，我们只能得到\mathbb{H}为M_2(\mathbb{C})的\mathbb{R}-子代数
    • 首先，1 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \in \mathbb{H}。其次，对任意

          \[ $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R},\; q_1 = \begin{bmatrix}z_1 & -w_1 \\ \overline{w_1} & \overline{z_1}\end{bmatrix},\; q_2 = \begin{bmatrix}z_2 & -w_2 \\ \overline{w_2} & \overline{z_2}\end{bmatrix} \in \mathbb{H}, \]

      我们有

          \[ \lambda_1q_1 + \lambda_2q_2 = \begin{bmatrix}\lambda_1z_1 + \lambda_2z_2 & -(\lambda_1w_1 + \lambda_2w_2) \\ \overline{\lambda_1w_1 + \lambda_2w_2} & \overline{\lambda_1z_1 + \lambda_2z_2}\end{bmatrix} \in \mathbb{H}, \]

          \[ q_1q_2 = \begin{bmatrix}z_1z_2 - w_1\overline{w_2} & -(z_1w_2 + w_1\overline{z_2}) \\ \overline{z_1w_2 + w_1\overline{z_2}} & \overline{z_1z_2 - w_1\overline{w_2}}\end{bmatrix} \in \mathbb{H}. \]

      注意，在第一个等式中，\lambda_1、\lambda_2必须为实数，所以\mathbb{H}是\mathbb{R}-代数，但不是\mathbb{C}-代数
  • \mathbb{H}为可除代数
    • 对任意q \in \mathbb{H} - \{ 0 \}，我们有|q| \neq 0。因此，

          \[ q^{-1} = \frac{1}{|q|^2}\overline{q}. \]

      注意，M_2(\mathbb{C})不是可除代数（存在非零、不可逆的矩阵），但\mathbb{H}是可除代数

四元数的另一种定义

  • 设z = a + bi、w = c + di，a、b、c、d \in \mathbb{R}。那么，

        \begin{equation*}\begin{split} \begin{bmatrix}z & -w \\ \overline{w} & \overline{z}\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}a + bi & -c - di \\ c - di & a - bi\end{bmatrix} \\ &= a\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}0 & -i \\ -i & 0\end{bmatrix}. \end{split}\end{equation*}

  • 由上述可知，dim_\mathbb{R}\mathbb{H} = 4，并且我们可以将\mathbb{R}-基底重命名为

        \[ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \mapsto 1,\; \begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{bmatrix} \mapsto i,\; \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \mapsto j,\; \begin{bmatrix}0 & -i \\ -i & 0\end{bmatrix} \mapsto k. \]

    也就是说，四元数的另一种定义为

        \[ q = a + bi + cj + dk, \]

    其乘法结构为

        \[ i^2 = j^2 = k^2 = -1,\; ij = -ji = k,\; ki = -ik = j,\; jk = -kj = i. \]

  • 对于四元数的共轭，

        \begin{equation*}\begin{split} \begin{bmatrix}\overline{z} & w \\ -\overline{w} & z\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}a - bi & c + di \\ -c + di & a + bi\end{bmatrix} \\ &= a\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} - b\begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{bmatrix} - c\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} - d\begin{bmatrix}0 & -i \\ -i & 0\end{bmatrix}. \end{split}\end{equation*}

    因此，\overline{q} = a - bi - cj - dk

模长为1的四元数

  • 模长为1的四元数，两种视角
    • 将\mathbb{H}视为\mathbb{R}^4
      • 模长为1的四元数 –> 3维球面S^3
    • 将\mathbb{H}视为2 \times 2的矩阵
      • 模长为1的四元数 –> SU(2, \mathbb{C})
  • 对于2 \times 2的矩阵，\mathbb{R}、\mathbb{C}的两种情形是类似的
    • 对于A \in SO(2, \mathbb{R})，我们有AA^T = I，\det(A) = 1，即

          \[ \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\; ad - bc = 1. \]

      • 由于ac + bd = 0，故

            \[ a = -\frac{bd}{c} \text{ if } c \neq 0. \]

        c = 0的情形是类似的，我们可以用a \neq 0来求解c
      • 由于a^2 + b^2 = 1，c^2 + d^2 = 1，故

            \[ 1 = \frac{b^2d^2}{c^2} + b^2 = \frac{b^2}{c^2} \Rightarrow b = c\epsilon,\; \epsilon = \pm 1. \]

      • 由此可知，

            \[ A = \begin{bmatrix}-d\epsilon & c\epsilon \\ c & d\end{bmatrix},\; \det(A) = -\epsilon. \]

        取\epsilon = -1，d = \cos\theta，c = \sin\theta，可得

            \[ A = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}. \]

        因此，A为绕原点的旋转，从而

            \[ SO(2, \mathbb{R}) \cong S^1. \]

    • 对于A \in SU(2, \mathbb{C})，我们有AA^* = I，\det(A) = 1，即

          \[ \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\overline{a} & \overline{c} \\ \overline{b} & \overline{d}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\; ad - bc = 1. \]

      • 由于a\overline{c} + b\overline{d} = 0，故

            \[ a = -\frac{b\overline{d}}{\overline{c}} \text{ if } \overline{c} \neq 0. \]

        \overline{c} = 0的情形是类似的，我们可以用a \neq 0来求解\overline{c}
      • 由于|a|^2 + |b|^2 = 1，|c|^2 + |d|^2 = 1，故

            \[ 1 = \frac{|b|^2|d|^2}{|c|^2} + |b|^2 = \frac{|b|^2}{|c|^2} \Rightarrow b = \overline{c}\epsilon,\; \epsilon = e^{i\theta}. \]

      • 由此可知，

            \[ A = \begin{bmatrix}-\overline{d}\epsilon & \overline{c}\epsilon \\ c & d\end{bmatrix},\; \det(A) = -\epsilon. \]

        取\epsilon = -1，\overline{d} = z，\overline{c} = w，可得

            \[ A = \begin{bmatrix}z & -w \\ \overline{w} & \overline{z}\end{bmatrix},\; |z|^2 + |w|^2 = 1. \]

        因此，A为模长为1的四元数，从而

            \[ SU(2, \mathbb{C}) \cong S^3. \]