半导体的电子和空穴

硅晶体

硅晶体的基本结构是单位晶胞（Unit Cell）
- 每个单位晶胞都是一个正方体，正方体的边长称为晶格常数（Lattice Constant），硅晶体的晶格常数为5.43Å
- 有8个原子位于顶点，有6个原子位于面的中心
- 如果我们将单位晶胞等分为8个小正方体，那么有4个原子位于小正方体的中心——2个原子在上面（左后、右前），2个原子在下面（左前、右后）
- 通过平移，单位晶胞可以填满3维空间，并且每个原子都与最近的4个原子形成4个键
一个键包含两个共价的电子。在绝对零度下，电子无法挣脱键的束缚；在其他温度下，热能会使一些电子挣脱键的束缚，成为自由电子（带负电），原来的地方留下空穴（带正电）
在室温下，电子和空穴的浓度通常很低。如果需要引入更多的电子和空穴，那么可以进行掺杂（Doping），即掺入杂质原子
- N型：加入施主（Donor），通常为V族原子，它们可以施舍电子
- N⁺型：施主浓度很高
- P型：加入受主（Acceptor），通常为III族原子，它们可以接受电子
- P⁺型：受主浓度很高
原子中的电子的特点
- 在一个原子中，每个电子占据一个能级（Energy Level）
- 在 $N$ 个接近的原子中，由Pauli不相容原理，每个能级分裂为 $N$ 个
- 在硅晶体中， $N$ 通常很大。因此，分裂出来的能级很密集，会形成近似连续的能带（Energy Band）
电子倾向于从低到高占据能带。几乎填满电子的最高一条能带称为价带（Valence Band），几乎没有电子的最低一条能带称为导带（Conduction Band），二者之间为能带间隙（Band Gap）
- 设 $E_v$ 为价带顶， $E_c$ 为导带底。那么，能带间隙的宽度为 $E_g = E_c - E_v$
- 绝缘体的 $E_g$ 较大，半导体的 $E_g$ 较小，导体的 $E_g$ 为0。其中，硅是常用的半导体

状态密度

设 $L$ 为硅晶体中的正方体的边长。对于 $x$ 方向（ $y$ ， $z$ 方向是类似的），波长只能是 $\lambda_x = L/N$ ，动量只能是 $p_x = h/\lambda_x = Nh/L$ ，其中 $N$ 为正整数。因此，在动量空间中，平均每2个状态（考虑到2个自旋方向）对应的体积为 $(\frac hL)^3$
现在，我们将动量转化为能量
- 由 $E = \frac{|p|^2}{2m}$ 可知，
  $\frac{dE}{d|p|} = \frac {|p|}{m} = \sqrt{\frac{2E}{m}}.$
- 在能量为 $E$ 时，动量空间的体积为
  $4\pi|p|^2d|p| = 8\pi mE \cdot \sqrt{\frac{m}{2E}}dE.$
- 在该体积中的状态数量为
  $4\pi|p|^2d|p| \times 2 \div \bigg(\frac hL\bigg)^3 = \frac{8\pi m\sqrt{2mE}L^3}{h^3}dE$
导带和价带的状态密度（Density of States）
- 导带：质量为电子的有效质量 $m_n$ ，能量为 $E - E_c$ ，故状态密度为
  $D_c(E) = \frac{8\pi m_n\sqrt{2m_n(E - E_c)}}{h^3}.$
- 价带：质量为空穴的有效质量 $m_p$ ，能量为 $E_v - E$ ，故状态密度为
  $D_v(E) = \frac{8\pi m_p\sqrt{2m_p(E_v - E)}}{h^3}.$

Fermi函数

设 $g_i$ 为能量 $E_i$ 的状态数量， $n_i$ 为能量 $E_i$ 的电子数量， $1 \leq i \leq k$ 。将电子分配到状态中的方法数为
$W = \prod_i \frac{g_i!}{(g_i - n_i)!n_i!}.$
由Stirling估计， $\ln(n!) \approx n\ln n - n$ ，故
$\ln W \approx g_i\ln g_i - (g_i - n_i)\ln(g_i - n_i) - n_i\ln n_i.$
在平衡状态（Equilibrium）下，在如下约束下达到极大值
$\sum_i n_i = N,\; \sum_i n_iE_i = E,$
其中为总电子数，为总能量。以下求解条件极值问题
- 由Lagrange乘子法，令
  $\varphi(n_i, \lambda, \mu) = \ln W + \lambda\bigg(N - \sum_i n_i\bigg) + \mu\bigg(E - \sum_i n_iE_i\bigg).$
- 在 $\ln W$ 的极值点处，
  $0 = \frac{\partial \varphi}{\partial n_i} = \ln(g_i - n_i) - \ln n_i - \lambda - \mu E_i.$
  因此，
  $\frac{g_i - n_i}{n_i} = e^{\lambda + \mu E_i},\; \frac{n_i}{g_i} = \frac{1}{1 + e^{\lambda + \mu E_i}}.$
Fermi函数（Fermi Function）的形式为
$f(E) = \frac{1}{1 + e^{\lambda + \mu E}},$
并且表示电子占据能量的概率
- 平均能量可以通过下式计算
  $\frac{\int_{E_c}^{+\infty} (E - E_c) \cdot D_c(E) \cdot f(E)dE}{\int_{E_c}^{+\infty} D_c(E) \cdot f(E)dE}.$
  我们使用近似 $f(E) \approx e^{-(\lambda + \mu E)}$ ，积分的结果为
  $\frac{\mu^{-\frac 52}\Gamma(\frac 52)}{\mu^{-\frac 32}\Gamma(\frac 32)} = \frac 32\mu^{-1}.$
  另一方面，在温度为 $T$ 时，平均能量为 $\frac 32kT$ ，故 $\mu = \frac{1}{kT}$
- 最后，令 $\lambda = -\frac{E_F}{kT}$ ，其中 $E_F$ 称为Fermi能级（Fermi Level），故
  $f(E) = \frac{1}{1 + e^{\frac{E - E_F}{kT}}}.$

电子和空穴的浓度

在下面的计算中，我们使用如下近似
- 电子占据能量 $E$ 的概率为 $f(E) \approx e^{-\frac{E - E_F}{kT}}$
- 空穴占据能量 $E$ 的概率为 $1 - f(E) \approx e^{-\frac{E_F - E}{kT}}$
电子浓度为
$\begin{split} n &= \int_{E_c}^{+\infty} D_c(E)f(E)dE \\ &= \int_{E_c}^{+\infty} \frac{8\pi m_n\sqrt{2m_n(E - E_c)}}{h^3} \cdot e^{-\frac{E - E_F}{kT}}dE \\ &= \frac{8\pi m_n\sqrt{2m_n}}{h^3} \cdot (kT)^{\frac 32}e^{-\frac{E_c - E_F}{kT}} \cdot \Gamma\bigg(\frac 32\bigg). \\ &= 2\bigg(\frac{2\pi m_nkT}{h^2}\bigg)^{\frac 32}e^{-\frac{E_c - E_F}{kT}}. \end{split}$
令 $N_c = 2(\frac{2\pi m_nkT}{h^2})^{\frac 32}$ 为导带的有效状态密度（Effective Density of States of the Conduction Band）。那么， $n = N_cf(E_c)$ ，这等价于所有电子位于能量 $E_c$ 处，且状态密度为 $N_c$
空穴浓度为
$\begin{split} p &= \int_{-\infty}^{E_v} D_v(E)[1 - f(E)]dE \\ &= \int_{-\infty}^{E_v} \frac{8\pi m_p\sqrt{2m_p(E_v - E)}}{h^3} \cdot e^{-\frac{E_F - E}{kT}}dE \\ &= \frac{8\pi m_p\sqrt{2m_p}}{h^3} \cdot (kT)^{\frac 32}e^{-\frac{E_F - E_v}{kT}} \cdot \Gamma\bigg(\frac 32\bigg). \\ &= 2\bigg(\frac{2\pi m_pkT}{h^2}\bigg)^{\frac 32}e^{-\frac{E_F - E_v}{kT}}. \end{aligned}$
令 $N_v = 2(\frac{2\pi m_pkT}{h^2})^{\frac 32}$ 为价带的有效状态密度（Effective Density of States of the Valence Band）。那么， $p = N_v[1 - f(E_v)]$ ，这等价于所有空穴位于能量 $E_v$ 处，且状态密度为 $N_v$
掺杂后的电子和空穴的浓度
- 定义本征载流子浓度（Intrinsic Carrier Concentration）
  $n_i^2 = np = N_cN_ve^{-\frac{E_g}{kT}}.$
  令 $N_d$ 为施主浓度， $N_a$ 为受主浓度。由于 $n - N_d$ 和 $p - N_a$ 分别为半导体本身贡献的电子和空穴的浓度，故
  $n - N_d = p - N_a.$
- 从而，
  $n = \frac{N_d - N_a}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{N_d - N_a}{2}\bigg)^2 + n_i^2},$
  $p = \frac{N_a - N_d}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{N_a - N_d}{2}\bigg)^2 + n_i^2}.$
半导体的类型
- 本征半导体（Intrinsic Semiconductor）我们有 $N_d = N_a = 0$ ，故 $n = p = n_i$
- N型半导体（N-Type Semiconductor）我们有 $N_d - N_a >> n_i$ ，故
  $n = N_d - N_a,\; p = n_i^2/(N_d - N_a).$
  进一步，如果 $N_d >> N_a$ ，那么 $n = N_d$ ， $p = n_i^2/N_d$
- P型半导体（P-Type Semiconductor）我们有 $N_a - N_d >> n_i$ ，故
  $p = N_a - N_d,\; n = n_i^2/(N_a - N_d).$
  进一步，如果 $N_a >> N_d$ ，那么 $p = N_a$ ， $n = n_i^2/N_a$
电子和空穴都能形成电流，二者称为载流子（Carrier），载流子分为多数载流子（Majority Carrier）和少数载流子（Minority Carrier）。在N型半导体中，电子是多数载流子，空穴是少数载流子；在P型半导体中，空穴是多数载流子，电子是少数载流子