公理化集合论

无限集合

由Lebesgue测度可知，算术化将微积分化归为实数，公理化将实数化归为集合。因此，无穷小微分的矛盾之处，实际上是无限集合的矛盾之处
- 有限主义者（Finitist）认为，只存在有限集合。比如，根据计算和信息，可计算的实数是有限的。既然不存在无穷大，那么也不存在无穷小
- 如果存在无穷大，那么它的倒数为无穷小。无限集合的性质，是有限集合的性质，经过形式化得到的
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计数可以分为基数（Cardinal）和序数（Ordinal）
von Neumann序数可以用《庄子·齐物论》中的一段话来描述
- 既已为一矣，且得有言乎？ –> $0 = \emptyset$
- 既已谓之一矣，且得无言乎？ –> $1 = \{ \emptyset \}$
- 一与言为二 –> $2 = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}$
- 二与一为三 –> $3 = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset,\; \{ \emptyset \} \} \}$
- 自此以往，巧历不能得，而况其凡乎 –> $0, 1, 2, 3, \ldots, \omega$
- 故自无适有，以至于三，而况自有适有乎 –> $\omega, \omega + 1, \ldots, 2\omega, \ldots, \omega^2$
- 无适焉，因是已 –> $\omega^2, \ldots, \omega^\omega, \ldots, \omega^{\omega^{.^{.^{.}}}}$ ，其中最后一项为Epsilon数，它是不动点方程 $\omega^\epsilon = \epsilon$ 的解

在数学中，我们使用映射（Map）；在计算机科学中，我们使用函数（Function）。数学的函数 –> 返回值为“数”的映射，计算机科学的函数 –> 一般的映射
- 实变函数
  - 一元函数 –> 参数为一个实数，返回值为一个实数
  - 多元函数 –> 参数为多个实数，返回值为一个实数
- 复变函数
  - 单复变函数 –> 参数为一个复数，返回值为一个复数
  - 多复变函数 –> 参数为多个复数，返回值为一个复数
- 一般的映射
  - （定义域，单）单值映射在定义域上单，多值映射在定义域上非单
  - （定义域，满）全映射在定义域上满，偏映射在定义域上非满
  - （值域，单）单射在值域上单，非单射在值域上非单
  - （值域，满）满射在值域上满，非满射在值域上非满
我们通常说的映射，实际上是指“单值映射 + 全映射”，它在定义域上既单又满；类似地，对于“单射 + 满射”，它在值域上既单又满。二者是对偶的
- 单值映射 + 全映射 –> 映射
- 单射 + 满射 –> 逆映射
- 映射 + 逆映射 –> 双射

映射 $f: X \to Y$ 可以用如下关系来描述，
$x \sim_R y \text{ if and only if } f(x) = y.$
这里，集合 $X$ 、 $Y$ 之间的关系为
$R \subset X \times Y.$
如果 $(x, y) \in R$ ，那么我们记 $x \sim_R y$