从初等数论到交换代数、算术几何

数学的起源

算术源于数。我们使用的阿拉伯数字，源于东方，经过阿拉伯，传入西方
- 一种观点认为，阿拉伯数字的书写符号源于中国，原因是中国采用十进制，并且阿拉伯数字像汉字的草书，正如日本平假名像汉字的草书，二者大致形成于唐朝，然后向外传播。关于汉字、书法，可参见生命符号
- 0（空）的产生，源于印度佛教的空观。将0作为占位符，可得进位制。这种记数法，大致于唐朝因印度被征服而传入阿拉伯，所以阿拉伯数字也叫做印度数字。同时，一些大数，比如《金刚经》的恒河沙、阿僧祇、那由他，也源于印度佛教。关于佛教，可参见禅宗美学前史
中国算术的代表
- 汉朝的《九章算术》
  - 算术 –> 分数、比例、一次方程组的求解、正负数的运算
  - 几何 –> 面积和体积的计算、勾股定理的应用
- 魏晋南北朝的《孙子算经》
  - 鸡兔同笼问题 –> 今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二
  - 中国剩余定理 –> 今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？答曰：二十三
几何、算术 –> 代数 –> 分析
- 埃及积累了大量的几何知识，用于测量土地、建造金字塔等。在埃及的亚历山大港，Euclid学习了埃及的几何，并结合希腊的逻辑，编写了公理化的Elements。后来，希腊著作大量散佚到阿拉伯
- 阿拉伯学习了东方的算术，建立了代数。Al-Khwarizmi是代数之父，出生于阿拉伯帝国的东部、唐朝的西域地区（今乌兹别克斯坦花剌子模州），之后定居于巴格达。在巴格达的智慧宫，Al-Khwarizmi负责收集、整理、翻译大量散佚的希腊著作，以及东方著作。代数（Algebra）即阿拉伯语Al-Jabr，算法（Algorithm）即Al-Khwarizmi本身
- 通过十字军东征等方式，西方从阿拉伯获得了大量散佚的希腊著作，以及东方著作，开启了文艺复兴。进一步，通过传教士，西方获得了大量中国著作，开启了启蒙运动。比如，Leibniz就是中国通，他建立的二进制和《易经》有关。关于《易经》，可参见生命符号
- 在几何、算术、代数的基础之上，西方建立了微积分。Newton的The Mathematical Principles of Natural Philosophy风格类似于Euclid的Elements。然而，只有利用算术、代数，才能实现微积分的算术化、公理化，形成现代的分析
因此，数学是文化杂交的结果。类似地，科学也是文化杂交的结果，它需要理性精神（西方哲学）、超越精神（宗教）、实践精神（中国哲学）。由宗教是什么？可知，哲学 –> 宗教 –> 科学
- 西方的理性精神，源于希腊
- 通过将犹太教希腊化为基督教，西方获得了超越精神，它源于苏美尔-巴比伦影响下的以色列-犹太民族
  - 新宗教的教义，因为是希腊思想使之精致化了的，所以它才能在那时候的西方文明世界不胫而走，这是十分明显的事。——《顾准文集》
- 通过十字军东征等方式，基督教的根基被动摇，加上东方思想、特别是中国思想的传入，西方获得了实践精神
  - 关于中国文化对西方的影响，可参见中国文化和宗教
- 希腊的城邦制度，源于海外殖民城市，即“母邦-子邦”的分裂繁殖。西方继承了希腊的殖民传统，它刺激了科学的发展，加速了世界体系的形成
  - 海外殖民城市是城邦制度的发源之地。——《顾准文集》

初等数论

希腊的几何、算术都源于埃及的亚历山大港。如果说希腊几何的代表是Euclid的Elements，那么希腊算术的代表是Diophantus的Arithmetica，其中求解的方程称为Diophantus方程
- Diophantus只解决了特殊的算术问题，而Al-Khwarizmi先解决一般的代数问题，再将特殊的算术问题作为特例——这种方法既简洁又有效，体现了数学通过建立一般的方法以解决问题的精髓。类似地，《孙子算经》只解决了特殊的算术问题，而中国剩余定理是一般的代数定理
- 代数的发展历程，对应于文艺复兴、启蒙运动的发展历程。Al-Khwarazmi（阿拉伯） –> Fibonacci、Pacioli（意大利） –> Viète、Descartes（法国），其中意大利是文艺复兴的发源地，Descartes是启蒙运动的思想家
  - The continuity of this tradition is evident even in the name given to the art, which was transliterated from the Arabic al-jabr to the Latin and Italian algebra (with many variations), to the modern algebra/algèbre/álgebra etc. that we employ today.——The Arithmetica of Diophantus
Descartes是理性主义的代表，他的Rules for the Direction of the Mind提出，首先将认识问题（比如科学问题）转化为数学问题，然后将数学问题转化为方程
- 根据Descartes的理性主义，我们可以将Euclid几何转化为方程，这对应于解析几何，它是Newton、Leibniz建立微积分的基础。同时，Descartes坐标系（即具有x轴、y轴、z轴的直角坐标系）之后发展为集合论中的Descartes积
- Fermat将解析几何应用于光学，提出了几何光学的Fermat原理，它之后发展为分析中的极值、导数、中值定理，以及经典力学中的最小作用量原理。关于Fermat原理，可参见几何光学
Fermat是法国的业余数学家，他写下了许多结果，但是没有提供证明，最著名的一个是在阅读Diophantus的Arithmetica时，写下的批注
- It is impossible to separate a cube into two cubes, or a fourth power into two fourth powers, or in general, any power higher than the second, into two like powers. I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain.——Fermat
之后，Euler提供了大部分证明，它们是初等数论的经典结果
- （Fermat小定理）设 $p$ 为素数。那么，对任意 $x \not\equiv 0\; (mod\; p)$ ，我们有
  $x^{p - 1} \equiv 1\; (mod\; p).$
  这是一个算术的定理，我们可以用代数的方法来证明。模 $p$ 的方程等价于有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的方程，类似于有限域的阶，对群 $(\mathbb{F}_p - \{ 0 \}, \times)$ 使用Lagrange定理即可——这种方法既简洁又有效，体现了数学通过建立一般的方法以解决问题的精髓
- （平方和）在四元数中，由复数、四元数模长的性质可知，
  $\begin{equation*}\begin{split} |z_1|^2|z_2|^2 &= (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2), \\ |z_1z_2|^2 &= (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2. \end{split}\end{equation*}$
  $\begin{equation*}\begin{split} |q_1|^2|q_2|^2 &= (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 + d_1^2)(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 + d_2^2), \\ |q_1q_2|^2 &= (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2)^2 \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (a_1b_2 + a_2b_1 + c_1d_2 - c_2d_1)^2 \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (a_1c_2 + a_2c_1 + d_1b_2 - d_2b_1)^2 \\ &\mathrel{\phantom{=}} + (a_1d_2 + a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1)^2. \end{split}\end{equation*}$
  因此，2（或4）个整数的平方和的乘积，仍然是2（或4）个整数的平方和。这在复数、四元数之前就已经被发现了，即Diophantus恒等式、Euler恒等式
- （三元数）注意，3个整数的平方和的乘积，不一定是3个整数的平方和，这提示我们三元数不存在。比如，考虑非负整数 $x \leq y \leq z$ ，满足
  $(1^2 + 1^2 + 1^2)(0^2 + 1^2 + 2^2) = 15 = x^2 + y^2 + z^2.$
  那么，
  $\begin{equation*}\begin{split} z^2 \leq 15 \leq 3z^2 &\Rightarrow z = 3, \\ y^2 \leq 6 \leq 2y^2 &\Rightarrow y = 2, \\ x^2 = 2 &\Rightarrow \text{contradiction}. \end{split}\end{equation*}$
  因此，在计算机图形学的几何变换中，我们不是用三元数、而是用四元数来表示3维空间的旋转。Hamilton曾经寻找三元数未果，之后建立了四元数
- Euler曾在彼得堡科学院、柏林科学院工作，最终留在彼得堡科学院，并成为俄罗斯现代数学的起源。在Euler离开柏林科学院后，Lagrange被邀请到柏林科学院，他编写的Analytical Mechanics建立了Lagrange力学，再加上Hamilton力学，它们构成了现代大学的经典力学
  - “The greatest king in Europe” should have “the greatest mathematician in Europe”.——腓特烈大帝
- 这两个科学院是Leibniz分别建议彼得大帝、腓特烈大帝设立的；除此之外，Leibniz还向康熙皇帝写信，介绍微积分，建议设立北京科学院，并且表示非常希望到北京工作，但是没有得到回复
除了算术之外，Euler还编写了Elements of Algebra、Introduction to Analysis of the Infinite。二者分别对应于现代中学的代数、现代大学的分析，站点的风格类似于Euler的著作
- Read Euler, read Euler, he is the master of us all.——Laplace
- The study of Euler’s works will remain the best school for the different fields of mathematics, and nothing else can replace it.——Gauss
Newton、Leibniz建立了微积分的基本原理，Euler奠定了微积分的现代基础，Cauchy、Weierstrass实现了微积分的算术化（微积分 –> 实数），再加上公理化（实数 –> 集合），它们构成了现代大学的分析。进一步，复分析、ODE、PDE为科学的发展提供了有力的支持，它们体现了Descartes的理性主义
- 关于公理化，可参见Lebesgue测度
- 关于复分析，可参见复数域上的分析
- 关于ODE，可参见Legendre函数、Bessel函数
- 关于PDE，可参见使用Fourier变换求解PDE
由从切空间到局部可知，Newton、Leibniz关于微积分的冲突，实际上是源于西方的几何传统（有限差分的几何直观）和源于东方的算术、代数传统（无穷小微分的形式化演算）的冲突。从Leibniz到Euler采用了源于东方的算术、代数传统，而Newton之后的英国数学长期落后于受到东方影响的欧洲大陆，所以缺少文化杂交即导致落后。在Lagrange的Analytical Mechanics中，评论写道
- Lagrange’s Mecanique Analytique appeared early in 1788 almost exactly one century after the publication of Newton’s Principia Mathematica. It marked the culmination of a line of research devoted to recasting Newton’s synthetic, geometric methods in the analytic style of the Leibnizian calculus.
- During the eighteenth century there was a considerable emphasis on extending the domain of analysis and algorithmic calculation, on reducing the dependence of advanced mathematics on geometrical intuition and diagrammatic aids… Algebra had developed to a point that in this period it is on an equal footing with geometry and henceforth, it will now surpass it in scope and ease of application.

交换代数

代数源于求解代数方程。一次方程为线性方程，二次及以上的方程为一般的代数方程。在从线性方程出发中，我们考虑线性方程；在这里，我们考虑一般的代数方程
对于实系数的一元二次方程，当判别式时，可得复数、根式
$x = \frac{-b \pm \sqrt{-\Delta}i}{2a}.$
因此，对于一般的代数方程，我们有如下基本问题
- 复系数的一元代数方程是否有解？这对应于代数基本定理，可参见复数域上的分析
- 复系数的一元代数方程是否有根式解？这对应于Galois理论，可参见Galois群
Diophantus方程是整系数的代数方程。对于Diophantus方程，我们有如下基本问题
- Diophantus方程是否有整数解？
- 如果有整数解，那么整数解的个数是多少？
在阅读Diophantus的Arithmetica时，Fermat写下的批注对应于如下Diophantus方程，称为Fermat方程
$x^n + y^n = z^n,\; x, y, z \neq 0.$
- 当 $n = 2$ 时，这对应于勾股数（比如 $3^2 + 4^2 = 5^2$ ），由2平方和定理，可得一般的解
- 当 $n = 3$ 时，Euler首先证明了Fermat方程无解
- 当 $n = 4$ 时，由Fermat提供的唯一一个算术的定理，可得Fermat方程无解
- 对于更一般的情形，由Kummer理想数，可得Fermat方程无解
- Gauss整数 –> 环，Kummer理想数 –> 理想，之后二者发展为交换代数
Gauss编写的Arithmetical Investigations，系统地整理了初等数论的经典结果，并且是代数数论的起源
- Arithmetical Investigations包含同余、二次互反律等内容。中国剩余定理是求解一次同余方程组的算术定理，所以也包含在其中，之后它被推广为一般的环上的代数定理
- Gauss整数（或Hurwitz整数），可以用于证明2（或4）平方和定理。一般地，我们可以考虑 $k$ 次方和，这对应于Waring问题。Hilbert证明了，任意非负整数，可以用 $g(k)$ 个非负整数的 $k$ 次方和来表示
- Chen Jingrun的一个重要结果是，这属于解析数论，计算往往极其复杂（希望未来可以建立一般的方法，既简洁又有效地解决问题，或者用计算机来证明）
  - Chen Jingrun’s work is like walking on the top of the Himalayas, every step is very difficult.——Weil
- 从Gauss到Hilbert，Göttingen学派成为德国数学的巅峰。然而，在二战期间，Göttingen学派相关的数学家、科学家大量转移到美国，比如Einstein、von Neumann、Gödel进入Princeton大学的IAS（Institute for Advanced Study）。现在，IAS仍然是美国数学的代表
  - Suffered? It doesn’t exist any longer, does it?——Hilbert

算术几何

算术、代数的结合 –> 代数数论，算术、分析的结合 –> 解析数论，算术、几何的结合 –> 算术几何
- 根据Voronoi图、Delaunay三角剖分，几何、拓扑源于土地（Earth），即地理学（Geography）
  - 几何（Geometry） –> 土地（Geo）、度量（Metric）
  - 拓扑（Topology） –> 地点或位置（Topos）、地形学（Topography）
  - Euler解决的七桥问题，即地图学（Cartography）问题，它是拓扑、图论的起源
  - Gauss建立的微分几何，源于他在Göttingen大学负责的测地学（Geodesy）工作，由此他发现了曲面上的Gauss曲率
- 几何 –> Riemann几何，拓扑 –> 几何拓扑、代数拓扑
  - Riemann建立的Riemann几何，源于他在Göttingen大学应Gauss的要求而做的就职演说On the Hypotheses Which Lie at the Bases of Geometry，由此他提出了流形（Manifold）、Riemann度量（Riemannian Metric），并将曲面上的Gauss曲率推广为流形上的Riemann曲率。由从局部到整体可知，流形即世界地图的地图册
  - 在几何的基础之上，Poincaré建立了几何拓扑、代数拓扑，在他的论文中它们叫做位置分析（Analysis Situs），由此他提出了同调（Homology）
- Euclid几何、非Euclid几何，以及科学
  - Gauss曾经思考过非Euclid几何的存在性，他的Gauss曲率提示了这一点——平面的Gauss曲率为0，曲面的Gauss曲率可以不为0
  - Riemann几何提示我们至少有3种几何——球面几何（曲率为正）、Euclid几何（曲率为0）、双曲几何（曲率为负）
  - Klein提出的Erlangen纲领，利用变换群，系统地整理了各种几何。关于变换群、几何，可参见Euclid几何、晶体群。除此之外，在Hilbert基定理发表后，Klein敏锐地发现了Hilbert的才能，并将Göttingen大学交给他引领
    - Without doubt this is the most important work on general algebra that the Annalen has ever published.——Klein
  - Poincaré编写的Science and Hypothesis，提出了圆盘模型，明确地建立了双曲几何，它基于Euclid几何的存在性。关于Poincaré圆盘模型，可参见从Euclid几何到非Euclid几何
    - Science and Hypothesis还讨论了光电效应、Brown运动、相对论等问题，它们启发了Einstein的一系列工作。由Minkowski时空可知，Minkowski时空源于Poincaré建立的双曲几何
  - Hilbert编写的The Foundations of Geometry通过严格的公理化，证明了Euclid几何的存在性，此后，现代数学的各个分支转向公理化。关于公理化、证明，可参见什么是证明？
    - Hilbert还邀请Einstein到Göttingen大学讲述广义相对论的想法，最终他们共同发现了引力场方程
    - 经过Hilbert的指导，von Neumann编写的Mathematical Foundations of Quantum Mechanics将量子力学建立在Hilbert空间的基础之上。关于量子力学、Hilbert空间，可参见Hamilton算子
    - von Neumann还在Göttingen大学进行数理逻辑的研究。Gödel提出的不完备定理，彻底改变了他对Hilbert的公理化计划的观念。此后，von Neumann转向计算机科学。关于von Neumann、计算机科学，可参见赛博理论的起点在清华大学？
- 根据从局部到整体，代数几何为不同的域上的几何，提供了统一的基础。其中，Grothendieck的Elements of Algebraic Geometry奠定了代数几何的现代基础
  - 微分几何–> 实数域
  - 复几何 –> 复数域
  - 算术几何 –> 有理数域、有限域
  - 代数几何 –> 一般的域，因为实数域的代数性质较差（比如不是代数封闭的），所以代数几何通常用于复几何、算术几何
如果说Hilbert引领了数学的公理化，那么Grothendieck引领了数学的结构化。根据Lebesgue测度，公理化对应于集合论，结构化对应于范畴论
- H. Cartan、Weil曾经抱怨微积分的教学，所以他们使用佚名（Bourbaki）重新编写数学，Elements of Mathematics建立在集合论的基础之上
  - Chern受到了E. Cartan（H. Cartan的父亲）、Weil的重要影响。Chern-Gauss-Bonnet定理的证明工具源于E. Cartan，Chern示性类源于Chern-Weil理论
  - H. Cartan的讨论班影响了Grothendieck，后者的讨论班影响了代数几何
- 尽管Grothendieck曾经是Bourbaki学派的成员，然而他的Elements of Algebraic Geometry建立在范畴论的基础之上。因为Bourbaki学派不愿意将基础从集合论更换为范畴论，所以他离开了Bourbaki学派
- 除此之外，Grothendieck还是IHÉS（Institut des Hautes Études Scientifiques）的创始成员，它是仿照IAS设立的。现在，IHÉS仍然是法国数学的代表
- 因为Grothendieck具有反战精神，所以在越南战争期间，他前往越南河内的丛林讲授范畴论，并且在得知IHÉS受到军方的资助后，他很快离开了IHÉS。此后，他不再从事数学，并成为了一名农民，编写了《收获与播种》。在流形上的整体结构中，我们也用农业来播种，收获了流形上的层（Sheaf）
Weil通过阅读Gauss的Arithmetical Investigations等著作，提出了Weil猜想，它将Diophantus方程的解的个数和上同调联系在一起。因为Diophantus方程属于算术、上同调属于几何，所以Weil猜想是算术几何的一个里程碑
- 关于对偶（Duality），可参见范畴的定义
  - 在三角函数中，我们有对偶的概念——正弦（Sine）和余弦（Cosine）、正切（Tangent）和余切（Cotangent）
  - 在范畴论中，我们有对偶的概念——极限（Limit）和余极限（Colimit）、同调（Homology）和余同调（Cohomology）
  - 由从链复形到同调群可知，同调、余同调分别对应于指标的下降、上升，所以它们也叫做下同调、上同调
- 为了解决Weil猜想，Grothendieck使用了如下类比，将代数几何建立在范畴论的基础之上。他先解决一般的代数问题，再将特殊的算术问题作为特例——这种方法既简洁又有效，体现了数学通过建立一般的方法以解决问题的精髓
  - （集合论）集合 –>拓扑空间 –> 流形上的层 –> 上同调
  - （范畴论）范畴 –> 站点 –> Topos上的层 –> 上同调
  - （代数几何）环 –> 谱 –> 概形上的层 –> 上同调
现在，利用算术几何，我们已经可以证明Fermat最后的定理，从Diophantus开始的故事画上了句号
- Faltings证明了Mordell猜想 –> Fermat方程的解的个数有限
- Wiles、Taylor证明了Shimura-Taniyama-Weil猜想 –> Fermat方程无解

指穷于为薪，火传也，不知其尽也。——《庄子·养生主》