佚名

图解和声

  1. 音的循环：音的概述 / 三和弦
  2. 大调和声：
  3. 小调和声：

音的循环

音的概述

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  • 十二平均律将频率f \to 2f等比例地分为12份，f \to 2^{\frac{1}{12}}f \to \cdots \to 2f
    • 它们对应于12阶循环群\mathbb{Z}_{12}
  • 音名
    • 基本音级：C、D、E、F、G、A、B
    • 升号♯、降号♭、重升号♯♯、重降号♭♭、还原号♮
    • 同音异名：C、C♯/D♭、D、D♯/E♭、E、F、F♯/G♭、G、G♯/A♭、A、A♯/B♭、B
  • 音程 ：大（Major）、小（Minor）、纯（Perfect）、增（Argumented）、减（Diminished）
    • 纯一度（P1）：C-C，增一度（A1）：C-C♯
    • 减二度（d2）：C-D♭♭，小二度（m2）：C-D♭，大二度（M2）：C-D，增二度（A2）：C-D♯
    • 减三度（d3）：C-D-E♭♭，小三度（m3）：C-D-E♭，大三度（M3）：C-D-E，增三度（A3）：C-D-E♯
    • 减四度（d4）：C-D-E-F♭，纯四度（P4）：C-D-E-F，增四度（A4）：C-D-E-F♯
    • 减五度（d5）：C-D-E-F-G♭，纯五度（P5）：C-D-E-F-G，增五度（A5）：C-D-E-F-G♯
    • 减六度（d6）：C-D-E-F-G-A♭♭，小六度（m6）：C-D-E-F-G-A♭，大六度（M6）：C-D-E-F-G-A，增六度（A6）：C-D-E-F-G-A♯
    • 减七度（d7）：C-D-E-F-G-A-B♭♭，小七度（m7）：C-D-E-F-B-A-B♭，大七度（M7）：C-D-E-F-G-A-B，增七度（A7）：C-D-E-F-G-A-B♯
    • 减八度（d8）：C-D-E-F-G-A-B-C1♭，纯八度（P8）：C-D-E-F-G-A-B-C1
  • 全音阶（+大二度）
    • 生成元为2，对应于子群\mathbb{Z}_6
    • C-D-E-F♯-G♯-A♯-C1
    • C♯-D♯-F-G-A-B-C1♯
  • 减七和弦（+小三度）
    • 生成元为3，对应于子群\mathbb{Z}_4
    • C-E♭-G♭-A-C1
    • C♯-E-G-A♯-C1♯
    • D-F-G♯-B-D1
  • 增三和弦（+大三度）
    • 生成元为4，对应于子群\mathbb{Z}_3
    • C-E-G♯-C1
    • C♯-F-A-C1♯
    • D-F♯-A♯-D1
    • D♯-G-B-D1♯
  • 五度圈（+纯四度）
    • 生成元为5，对应于子群\mathbb{Z}_{12}
    • C-F-A♯-D1♯-G1♯-C2♯-F2♯-B2-E3-A3-D4-G4-C5
  • 三全音（+增四度）
    • 生成元为6，对应于子群\mathbb{Z}_2
    • C-F♯-C1
    • C♯-G-C1♯
    • D-G♯-D1
    • D♯-A-D1♯
    • E-A♯-E1
    • F-B-F1

三和弦

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  • 和声学（Harmonics）研究和弦（Chord），调和分析（Harmonic Analysis）源于音乐中的和声学
    • 和声 –> 弦振动 –> 频率 –> Fourier级数、Fourier变换
    • 调和 –> 调和函数（Harmonic Functions）
    • 和谐 –> 球谐函数（Spherical Harmonics）、谐波（Harmonic Waves）、谐振子（Harmonic Oscillators）
  • 大三和弦（Major Triad）：C-(+M3)-E-(+m3)-G(=P5)，G-(+M3)-B-(+m3)-D1(=P5)
  • 小三和弦（Minor Triad）：E-(+m3)-G-(+M3)-B(=P5)
  • 如果将三和弦的3个音作为3个顶点，那么我们可以得到一个三角形
    • 如果考虑所有三和弦的三角形，那么我们可以得到2维平面\mathbb{R}^2的三角剖分
    • 进一步，如果商掉音的循环（2维周期函数，对应于\mathbb{Z}^2），那么我们可以得到2维环面\mathbb{T}^2的三角剖分
    • 在计算机图形学中，我们有网格（Mesh）、密铺（Tessellation，通常叫做细分Subdivision）；在晶体学中，我们有单位晶胞（Unit Cell）、晶格（Lattice）；在拓扑学中，我们有流形的三角剖分（Triangulation）

这种网格图最早是由数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1739年提出的，其正式名称“Tonnetz”就来自德语（英语直译为“Tone-Network”），字面意思是音的网络。后来的音乐学家胡戈·里曼（Hugo Riemann）等对它又做了深入研究，它将是本书最重要的工具。——《图解和声》

这是数学中的拓扑（Topology）问题，这里不再展开。实际使用时还是平面图更加方便，但要留意循环产生的重复结构。也就是说，网格图虽然可在二维平面上无限延伸，但结构具有周期性，由一些最小的单元胞（Unit cell）像瓷砖一样密铺开来，类似晶体结构中的晶胞或晶格（Lattice）。——《图解和声》

平面的三角剖分

环面的三角剖分

大调和声

小调和声